Teorema de Taniyama-Shimura

La teorema de Taniyama-Shimura, anteriorment conegut com a conjectura de Taniyama-Shimura va ser una conjectura, i actualment un teorema, molt important dins de les matemàtiques modernes, que conecta les curves elíptiques definides sobre el cos dels número racional i les formes modular. Va ser inicialment proposta en 1955 per Yutaka Taniyama i desenrollada posteriorment per Taniyama junt a Gorō Shimura i per André Weil,^[1]^[2] per lo que també li la coneix com a conjectura de Taniyama-Shimura-Weil. En 1995, Andrew Wiles i Richard Taylor varen provar un cas especial de la conjectura, suficient per a demostrar l'última teorema de Fermat. En 2001 va ser finalment demostrada per Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond i Richard Taylor. Des de llavors, la conjectura de Taniyama-Shimura es coneix també com a teorema de la modularidad.

Enunciat

Es coneix com curva elíptica a aquella descrita en una equació del tipo

y^{2} = A x^{3} + B x^{2} + C x + D

tal que el discriminante del polinomi en el costat dret de l'equació no és 0. Supongam que $A$ , $B$ , $C$ i $D$ són número racional.

Una forma modular és una funció analítica $f : H \to ℂ$ del semiplano superior

H = {x + i y : y > 0}

als complexos $ℂ$ , tal que $f$ satisfaça certes condicions de simetria (entre elles $f (x) = f (x + N)$ para tot $x$ i algun sancer $N$ fix) i una condició de creiximent (holomorficidad en el punt en l'infinit).

La teorema afirma lo següent:

Història

Els treballs d'Andrew Wiles per a obtindre la demostració del última teorema de Fermat varen dur a la demostració de la veracitat de la conjectura de Taniyama-Shimura per al cas semiestable (assistit per Richard Taylor), partint de la teoria de Deformacions de Representacions de Galois creada per B. Mazur i de resultats de Langlands i Tunnell i desenrollant lo que hui es coneixen com a Teoremes d'Alçament Modular 1995.^[3] Posteriorment, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond i Richard Taylor varen ampliar el camp d'aplicació des de les curves elíptiques semiestables definides sobre els racionals a totes les curves elíptiques definides sobre els racionals.^[4] Hi ha dubte sobre l'aporte d'Andrew Wiles; Serge Lang va reivindicar a Shimura la paternitat junt en Taniyama. Este últim es va suïcidar als 31 anys en 1958.

Referències

Singh, Simon (2007). «5. Prova per contradicció», L'enigma de Fermat, Segona edició, Editorial Planeta. ISBN 9788408046790.

Aczel, Amir D.: L'última teorema de Fermat, Fondo de cultura econòmica, Mèxic,publicat any 2003.

Referències

↑ Weil, André Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen. Math. Ann. 168 1967 149-156
↑ Singh, 2007, p. 193
↑ Wiles, Andrew Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443--551
↑ Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: On the modularity of elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises, Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), pp. 843–939. Contains the proof of the modularity theorem

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Taniyama-Shimura» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Weil, André Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen. Math. Ann. 168 1967 149-156

[2] Singh, 2007, p. 193

[3] Wiles, Andrew Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443--551

[4] Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: On the modularity of elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises, Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), pp. 843–939. Contains the proof of the modularity theorem

[1]

[2]

[3]

[4]