Llei de reciprocitat quadràtica

En matemàtica, dins de la teoria de números, la llei de reciprocitat quadràtica designa a la «teorema áureo» que relaciona la solubilidad de dos congruèncias de segon grau relacionades:

$x^2\equiv p(\mathrm{mod}q)$

$y^2\equiv q(\mathrm{mod}p)$

a on $p$ i $q$ són número primo impars. Esta proposició va ser descoberta per Carl Friedrich Gauss als 18 anys d'edat i la va demostrar un any despuix. És reconeguda com un dels resultats més preciosos de la teoria dels números; va ser formulada pel prolífic Leonhard Euler en 1783, i tretze anys despuix es va encarregar de provar-la Gauss.

Enunciat

L'enunciat de la teorema áureo és el següent:

Si cap dels cosins $p$ o $q$ pertany a la successió $4k+1$ llavors una de les congruència té solució si i només si l'atra no té solució. Si algun dels cosins pertany a la successió $4k+1$ llavors o ben abdós congruència tenen solució o ben cap de les dos té solució.

L'enunciat pot simplificar-se utilisant el símbol de Legendre:

$\left(\frac{p}{q}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{s}\mathrm{i}{x}^2\equiv p(\mathrm{mod}q),\\ -1& \mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{o},\end{array}$

llavors l'enunciat de la teorema pot resumir-se de la següent forma:

$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}.$

Com $\frac{(p-1)(q-1)}{4}$ és parell si algun dels primers p o q és congruent en 1 mod 4, i és impar en un atre cas, $\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)$ és igual a 1 si p o q és congruent en 1 mod 4, i és igual a –1 si abdós són congruents en 3 mod 4.

Algunes de les demostracions més senzilles de la llei de reciprocitat quadràtica utilisen el lema de Gauss que tracta sobre residus quadràtics, i que ell mateixa va utilisar en dos de les seues huit demostracions.

Història

La teorema (com a conjectura) va ser enunciat inicialment per Euler en 1742 en una carta a Goldbach. Al voltant de mig sigle despuix, en 1798 Legendre va publicar una demostració que es basava en arguments no provats.

La teorema va ser, per primera volta, fefaentment demostrat per Gauss, en 1801 en el seu llibre Disquisitones Arithmeticae, a on dona dos demostracions del mateix. Gauss ho tenia en gran estima i ho va denominar la teorema áureo.

Ya en el XXI, en el llibre Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, de Franz Lemmermeyer, publicat en 2000, apareixen citades 196 demostracions diferents de la llei de reciprocitat quadràtica.

Vore també

• Criteri de Euler
• Aritmètica modular