Progressió aritmètica

En matemàtiques, una progressió aritmètica és una successió de números tals que la diferència de qualsevol parell de térmens successius de la seqüència és constant, dita cantitat anomenada «diferència de la progressió», «diferència» o inclús «distancia».

Per eixemple, la successió 3, 5, 7, 9,… és una progressió aritmètica de diferència constant 2, aixina com 5, 2, −1, −4,… és una progressió aritmètica de diferència constant −3.

Formulació

En una progressió aritmètica, si es prenen dos térmens consecutius de qualsevol d'esta, la diferència entre abdós és una constant, denominada diferència. Açò es pot expressar com una relació de recurrencia de la següent manera:

a_{n + 1} - a_{n} = d

.

Coneixent el primer terme a₁ i la diferencia d, es pot calcular l'enèsim terme de la progressió per mig de substitució successiva en la relació de recurrencia

a_{1}, \underset{a_{2}}{\underset{⏟}{(a_{1} + d)}}, (\underset{a_{3}}{\underset{⏟}{\underset{a_{2}}{\underset{⏟}{a_{1} + d}} + d}}), \dots, (\underset{a_{n}}{\underset{⏟}{\underset{a_{n - 1}}{\underset{⏟}{a_{1} + (n - 2) d}} + d}})

en lo que s'obté una fòrmula per al terme general d'una progressió aritmètica, escrita de manera compacta com:

(I) $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

a on d és un número real qualsevol.

També es pot escriure el terme general d'una atra forma. Per a això es consideren els térmens a_m i a_n (m<n) de la progressió anterior i es posen en funció de a₁:

\begin{matrix} a_{m} = & a_{1} + (m - 1) d \\ a_{n} = & a_{1} + (n - 1) d / / \end{matrix}

Restant abdós igualtats, i trasponer, s'obté:

(II) $a_{n} = a_{m} - (m - n) d$

expressió més general que (I), puix dona els térmens de la progressió coneixent un qualsevol d'ells, i la diferència.

Monotonia

Depenent de si la diferencia d en una progressió aritmètica és positiva, nula o negativa, es té que:^[1]^[2]

Si $d > 0$ , la progressió és monòtona creixent. Cada terme és major o igual que l'anterior ( $a_{n + 1} \geq a_{n}$ ). Com la progressió 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3). Si $d < 0$ , la progressió és monòtona decreixent. Cada terme és menor o igual que l'anterior ( $a_{n + 1} \leq a_{n}$ ). Com la progressió 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (d=-2). Si $d = 0$ , la progressió és constant. Tots els térmens són iguals ( $a_{n + 1} = a_{n}$ ). Com la progressió 2, 2, 2, 2, 2... (d=0).

Vore també

Referències

↑ Problemes i equacions.ISSN 2659-9899.Consultat el 15 de maig de 2020.
↑ Matesfacil.ISSN 2659-8442.Consultat el 15 de maig de 2020.

Arithmetic progression en MathWorld.
Arithmetic séries en MathWorld.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Progresión aritmética» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Problemes i equacions.ISSN 2659-9899.Consultat el 15 de maig de 2020.

[2] Matesfacil.ISSN 2659-8442.Consultat el 15 de maig de 2020.

[1]

[2]