Successió (matemàtica)

Archiu:Cauchy sequence illustration2.svg

Una successió infinita d'número real (en blau). La successió no és ni creixent, ni decreixent, ni convergent, ni és una successió de Cauchy. No obstant, sí és una successió acotada.

En anàlisis matemàtic, una successió és una seqüència de números o atres objectes matemàtics relacionats entre sí, en la que es té en conte la posició relativa de cada lletra respecte de l'anterior. Per eixemple (3, 5, 7, 9...) és una successió en número impar menors que 10, i (2, 4, 8, 16...) és una successió en les potències de 2. La successió es definix matemàticament com una funció el domini de la qual és el conjunt dels número natural i el seu codominio és qualsevol atre conjunt, generalment de números de diferent naturalea, també poden ser figures geomètriques o funcions; és dir, a cada posició de la seqüència índex 1, 2, 3, 4... se li associa un objecte que li correspon en el conjunt de destí. Cada u d'ells és denominat terme (també element o membre) de la successió i al número d'elements ordenats (possiblement infinits) se li denomina la llongitut de la successió. No deu confondre's en una série matemàtica, que és el número resultant de sumar tots els térmens d'una successió infinita.

A diferència d'un conjunt, l'orde en que apareixen els térmens sí és rellevant i un mateix terme pot aparéixer en més d'una posició. De manera formal, una successió pot definir-se com una funció sobre el conjunt dels número natural (o un subconjunt del mateix) i és per tant una funció discreta.

Per eixemple, la successió (A, B, C&#;) és una successió de lletres que diferix de la successió (C, A, B&#;). En este cas es parla de successions finitas (de llongitut igual a 3). Un eixemple de successió infinita seria la successió de números positius parells: 2, 4, 6, 8…

En ocasions s'identifica a les successions finitas en paraules sobre un conjunt. Pot considerar-se també el cas d'una successió buida (sense elements), pero este cas pot excloure's depenent del context.

Història

Les successions que seguixen una regla determinada han cridat sempre l'atenció dels matemàtics de totes les generacions. Pero, a pesar d'açò i de que es coneixien des de temps lluntans, no varen ser estudiades de forma detallada fins a l'época de major desenroll de les matemàtiques en el XVIII. Va ser en eixe temps quan es va perfeccionar el concepte de llímit d'una successió com el valor al com s'acosten de forma successiva els seus térmens.

Sense qüestió alguna, Leonhard Euler va ser el matemàtic més destacat d'eixa época, gràcies a les seues contribucions decisives en diversos camps de les matemàtiques, sobretot, en el camp de les successions i de les séries numèriques. També cal destacar al matemàtic italià Leonardo de Pisa, qui, en el XII, va introduir en Europa una de les successions matemàtiques que major existència té en els fenomens naturals, els números de Fibonacci.

En general, les successions s'utilisen per a representar llistes ordenades d'elements pero, sobretot, dins de les matemàtiques discretes són amprades d'atres diverses maneres com, per eixemple, dins de les ciències de la computació i en la teoria de jocs......

Generalitats

Notació

Existixen diferents notacions i nocions de successió en matemàtica, depenent de l'àrea d'estudi, algunes de les quals (com per eixemple successió exacta) no queden compreses en la notació que s'introduïx a continuació.

Se sol usar la notació ${a_{n}}$ per a indicar una successió, a on $a_{n}$ fa referència a l'element de la successió en la posició n, cridat terme general. El subíndex $n \in ℕ$ indica el lloc que ocupa en dita successió. Un eixemple pot ser el dels números positius parells, denotant dita successió per ${a_{n}}$ :

${a_{n}} = 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...$

llavors

$a_{1} = 2, a_{2} = 4, a_{3} = 6, a_{4} = 8, \dots$

En el cas de que els elements de la successió queden determinats per una regla, es pot especificar la successió fent referència a la fòrmula d'un terme arbitrari. En la successió anterior ${a_{n}}$ pot especificar-se per mig de la fòrmula $a_{n} = 2 n$ .

És freqüent trobar successions a on els subíndexs que denoten posició inicien des de zero, en volta des d'un, particularment en matemàtica discreta o en ciències de la computació. També es pot usar una variable distinta a n per a denotar el terme general, quan aixina convinga per a evitar confusió en atres variables.

En la lliteratura és possible trobar una gran varietat de notacions alternatives. Per eixemple, us de paréntesis en lloc de claus, o indicacions dels llímits per mig de variants en super i subíndexs, a continuació es mostren alguns pocs eixemples:

$(a_{n}) = a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$
$(a_{k})_{k = 1}^{m} = a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{m}$
${a_{n}}_{n \in ℕ} = a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots,$

Successions definides per recurrencia

Una relació de recurrencia per a una successió ${a_{n}}_{n \in ℕ_{0}}$ és una equació la qual establix el terme a_n en funció dels térmens anteriors $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ..., a_{n_{0} - 1}$ per a tots els sancers n tals que $n \geq n_{0}$ . La successió en sí és la solució de la relació de recurrencia si els seus térmens complixen la relació per a tot sancer positiu n.

Els algoritmes recursivos proporcionen solució a un problema de tamany n en térmens de la solució d'un o més casos del mateix problema, pero de menor tamany. Un eixemple de successió per recurrencia és la successió de Fibonacci, en la qual, cada terme a partir del tercer és la suma dels dos térmens anteriors. Esta successió en térmens generals es definix com:

$a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$

Quan es realisa la complexitat d'un algoritme recursivo basat en una successió, s'obté una relació de recurrencia que expressa el número d'operacions necessàries per a resoldre un problema de tamany n en térmens del número d'operacions necessàries per a resoldre el mateix problema en unes senyes de tamany menor.

D'esta manera, es pot comprovar l'existència d'una gran relació entre les relacions de recurrencia i la recursión, ya que servixen per a resoldre una gran cantitat de problemes com, per eixemple, calcular l'interés compost, calcular el número de moviments del joc de les Torres de Hanói i el número de conills d'una illa (problema propost per Fibonacci i relacionat en la successió de Fibonacci).

Eixemples

Entre les successions comunes i molt utilisades es poden trobar la progressió aritmètica i la progressió geomètrica. La diferència bàsica és que en la progressió aritmètica el pas d'un terme al següent és la suma d'una constant, i en la progressió geomètrica el següent terme de la successió s'obté multiplicant una constant. En el primer cas la diferència entre térmens consecutius és constant, mentres que en la segona la raó o cocient entre térmens consecutius és constant:

Progressió aritmètica: $a_{i} = a_{i - 1} + d \to d = a_{i} - a_{i - 1}; i = 1, 2, \dots; d = c t e .$

Progressió geomètrica: $x_{i} = r x_{i - 1} \to r = \frac{a_{i}}{a_{i - 1}}; i = 1, 2, \dots; r = c t e .$

Existix també la progressió aritmètica de segon orde en la que diferencia entre els térmens consecutius de la progressió no és una constant, sino que a la seua volta constituïxen una progressió aritmètica: $a_{i} = a_{i - 1} + d_{i}; d_{i} = d_{i - 1} + c; i = 1, 2, \dots; c = c t e .$

Vore també

Referències

Bibliografia

(1991) Anàlisis Matemàtic I (Tom 1), Madrit: UNED. ISBN 9788436216684.
Watson Fulks. Càlcul alvançat
J. Dieudonné. Fonaments d'anàlisis modern
Lages Lima. Curs d'anàlisis matemàtic
Banach. Càlcul
Spivak . Calculus

Este artícul conté una traducció derivada de «Sucesión (matemática)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.