Transformada Z

En matemàtiques i en el processament de senyals, la transformada Z convertix una senyal real o complexa definida en el domini del temps discret en una representació en el domini de la freqüència complexa.

El nom de transformada Z procedix de la variable del domini, de la mateixa manera que es podria cridar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nom més adequat per a la TZ podria haver segut "Transformada de Laurent", ya que està basada en la série de Laurent. La TZ és a les senyals de temps discret lo mateix que Laplace a les senyals de temps continu.

Definició

La transformada Z, igual que atres transformacions integrals, pot ser definida com una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral d'una senyal definida en el domini del temps discret $x[n]$ és una funció $X(z)$ que es definix

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$

a on $n\in \mathbb{Z}$ i en general $z\in ℂ$, és dir, és un número complejo de la forma

$z=A{e}^{j\omega }$

a on $A$ és el mòdul de $z$, i $\omega$ és l'argument d'eixe complex que be podria representar la freqüència angular (pulsació) en radianes per segon (rad/s).

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en els casos en que $x[n]$ està definida únicament per a $n\ge 0$, la transformada Z unilateral es definix com

$X^{+}(z)=Z^{+}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$

En el processament de senyals, s'usa esta definició quan la senyal és causal. En este cas, la Transformada Z resulta una série de Laurent, en Regió de Convergència (ROC) del tipo $|z|>R$ ; és dir que convergix "cap a fòra".

Un eixemple interessant de la TZ unilateral és la funció de generadora de provabilitats, a on $x[n]$ és la provabilitat que pren una variable discreta aleatòria en l'instant $n$, i la funció $X(z)$ sol escriure's com $X(s)$, ya que $s=z^{-1}$. Les propietats de les transformades Z són útils en la teoria de la provabilitat.

Transformada Z inversa

La Transformada Z inversa es definix

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$

a on $C$ és un círcul tancat que envol l'orige i la regió de convergència (ROC). El contorn, $C$, deu contindre tots els pols de $X(z)$.

Un cas especial i simple d'esta integral circular és que quan $C$ és el círcul unitat (que també pot usar-se quan la ROC inclou el círcul unitat), obtenim la transformada inversa de temps discret de Fourier:

$x[n]=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{+\pi }{\int }}X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$

La TZ en un ranc finito de $n$ i un número finito de $z$ separades de forma uniforme pot ser processada de forma eficient en l'algoritme de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) és un cas especial de la TZ, i s'obté llimitant z per a que coincidixca en el círcul unitat.