Residu quadràtic

En Matemàtiques, dins de la teoria de números es denomina residu quadràtic mòdul $m$ a qualsevol sancer $r$ coprimo en $m$ per al que tinga solució la congruència:

x^{2} \equiv r (\mod m),

o lo que és lo mateix quan $r$ és un quadrat no nul mòdul $m$ , i que per lo tant té una raïl quadrada en l'aritmètica de mòdul $m$ .^[1]^[2] Als sancers que no són congruents en quadrats perfectes mòdul $m$ se'ls denomina no-residus quadràtics. En avant nos referim a sovint a ells com a residus i no-residus.

En l'estudi dels residus quadràtics és convenient llimitar-se al cas en el que el mòdul és un primer $p$ , ya que llavors tenim un comportament molt més senzill, i moltes propietats dels residus per a mòduls generals poden derivar-se d'este cas usant el teorema chinenca del restant, i atres resultats de la resolució de congruència. Per a estudiar este cas és molt convenient l'us del símbol de Legendre, i de la seua extensió el símbol de Jacobi.

Eixemple

Si prenem el primer p=13, es té que 1² = 12² ≡ 1 (mod 13), 2² = 11² ≡ 4 (mod 13), 3² = 10² ≡ 9 (mod 13), 4² = 9² ≡ 3 (mod 13), 5² = 8² ≡ 12 (mod 13), 6² = 7² ≡ 10 (mod 13).

Per lo tant, els residus quadràtics mòdul 13 són: 1, 3, 4, 9, 10 i 12; els no residus: 2, 5, 6, 7, 8, i 11.

Notació

Gauss^[3] va usar R i N per a denotar residus i no residus, respectivament;

per eixemple,

2 R 7

i

5 N 7

, o

1 R 8

i

3 N 8

.

A pesar de que esta notació és compacta i convenient per a alguns propòsits,^[4]^[5] una millor notació és el símbol de Legendre, que també es coneix com caràcter quadràtic, que es definix per a tots els número entero a i número primo impars p com

(\frac{a}{p}) = {\begin{matrix} 0 & si p divide a a \\ + 1 & si a R p \\ - 1 & si a N p \end{matrix}

Una ventaja d'esta notació sobre la de Gauss és que el símbol de Legendre és una funció que pot usar-se en fòrmules. Una atra és que el símbol es pot generalisar fàcilment a residus cúbics, residus biquadràtics i en general de residus potencials.^[6]

Vore també

Referències

↑ Gentile: Aritmètica elemental, OEA ()1985
↑ (2006) «Eisenstein's proof of quadratic reciprocity», An invitation to modern number theory (en anglés), Princeton, Nova Jersey: Princeton University Press, pp. 22-23. ISBN 978-0-691-12060-7.
↑ Gauss, DA, art. 131
↑ p.i. Hardy i Wright la varen usar
↑ Gauss, DA, art 230 ff.
↑ Lemmermeyer, pp 111–end

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Residuo cuadrático» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Gentile: Aritmètica elemental, OEA ()1985

[invit-2] (2006) «Eisenstein's proof of quadratic reciprocity», An invitation to modern number theory (en anglés), Princeton, Nova Jersey: Princeton University Press, pp. 22-23. ISBN 978-0-691-12060-7.

[3] Gauss, DA, art. 131

[4] .i. Hardy i Wright la varen usar

[5] Gauss, DA, art 230 ff.

[6] Lemmermeyer, pp 111–end

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]