Funció L

Archiu:Riemann-Zeta-Func.png

Es pot considerar que la funció zeta de Riemann com l'arquetip de totes les funcions L.

En l'àmbit de les matemàtiques, una funció L és una funció meromorfa en el pla complex, associada en una de vàries categories d'objectes matemàtics. Una série L és una série de Dirichlet, generalment convergent en un semiplano, que pot donar lloc a una funció L per mig d'una extensió analítica.

La teoria de les funcions L s'ha convertit en una part molt substancial, i encara en numeroses conjecturas, de la teoria de números contemporànea. En ella, es construïxen àmplies generalisacions de la funció zeta de Riemann i de les séries-L per a un caràcter de Dirichlet, i encara que les seues propietats generals, en la majoria dels casos encara no han segut demostrades, s'enumeren en una forma sistemàtica.

Construcció

Cal distinguir entre les séries L, una representació per mig de séries infinites (per eixemple, les séries de Dirichlet per a la funció zeta de Riemann), i la funció L, la funció en el pla complex del seu extensió analítica. La construcció general comença en una série L-séries, definida com una série de Dirichlet, i després per una expansió com un producte de Euler indexat per mig de número primo. És necessari recórrer a estimadors per a demostrar que açò convergix en algun semiplano positiu dels número complejo. Després s'analisa si la funció definida d'esta manera pot ser estesa analíticamente al restant del pla complex (tal volta en alguns pols).

És esta extensió meromorfa conjetural al pla complex la que és denominada una funció L. En els casos clàssics, ya se sap que existix informació útil continguda en els valors i comportament de la funció L en punts en els que la representació de la série no convergix. El terme genèric funció L en este context inclou números tipos coneguts de funcions zeta. La classe de Selberg és un intent de capturar les propietats fonamentals de les funcions L en un conjunt de axioma, i que encoraja a estudiar les propietats de la classe en lloc de les de les funcions individuals.

Informació conjetural

Una llista de les característiques d'eixemples de les funcions L conegudes, que un volguera vore generalisada inclou:

• ubicació de pols i zeros;
• equació funcional, sobre alguna llínea vertical Re (s) = constant;
• valors interessants per a sancers.

Un cúmul de treball detallat ha produït una gran cantitat de conjectura plausibles, per eixemple sobre el tipo exacte d'equació funcional que deu utilisar-se. Ya que la funció zeta de Riemann es conecta a través dels seus valors per a sancers positius parells (i sancers negatius impar) en els números de Bernoulli, és d'esperar obtindre una generalisació apropiada d'este fenomen. En este cas s'han obtingut resultats para funcions L p-ádicas, que descriuen certs mòduls de Galois.

L'estadística de les distribucions de zeros són interessants per la seua relació en problemes tals com l'Hipòtesis Generalisada de Riemann, distribució d'número primo, etc. També resulten d'interés les relacions en la teoria de matriu aleatòria i caos quàntic. L'estructura fractal de la distribució ha segut estudiada utilisant anàlisis reescalado de ranc. l'autosimilitud de la distribució de zeros és notable, i es caracterisa per una dimensió fractal gran d'1.9. Esta dimensió fractal relativament gran es verifica en zeros que comprenen per lo manco quinze órdens de magnitut per a la funció zeta de Riemann, i també per a zeros d'atres funcions L de diferents órdens i conductors.

Vore també

• Hipòtesis generalisada de Riemann
• Funció L de Dirichlet
• Teorema de Taniyama-Shimura (Teorema de la modularidad)
• Funció L de Artin (Conjectura de Artin)