Hipòtesis generalisada de Riemann

La hipòtesis de Riemann és una de les conjecturas més importants de les matemàtiques. És un postulat sobre els zeros de la funció zeta de Riemann.

Existixen varis objectes geomètrics i aritmètics que poden ser descrits per les cridades funcions-L globals, les quals són similars de manera formal a la funció zeta de Riemann. Per lo tant un pot fer-se la mateixa pregunta sobre els zeros d'estes funcions-L, lo que conduïx a vàries generalisacions de l'hipòtesis de Riemann. Molts matemàtics creuen que estes generalisacions de l'hipòtesis de Riemann són verdaderes. Els únics casos d'estes conjectura que s'han pogut demostrar ocorren en el cas del cos de funcions (no en el cas del cos de números).

Les funcions-L globals poden estar associades a curves elíptiques, cossos numèrics (en el cas dels quals li les crida funcions zeta de Dedekind), formes d'ona de Maass, i caràcters de Dirichlet (en el cas dels quals li les crida funcions L de Dirichlet). Quan l'hipòtesis de Riemann es formula para funcions zeta de Dedekind, li la coneix pel nom de hipòtesis estesa de Riemann i quan li la fòrmula per a funcions-L de Dirichlet, li la coneix pel nom de hipòtesis generalisada de Riemann. Estes dos situacions són analisades en major detall en les següents seccions. (Molts matemàtics utilisen el nom hipòtesis generalisada de Riemann per a referir-se a l'extensió de l'hipòtesis de Riemann a totes les funcions-L globals, no solament per al cas especial de les funcions-L de Dirichlet.)

Hipòtesis generalisada de Riemann (HGR)

L'hipòtesis generalisada de Riemann (per a les funcions-L de Dirichlet) va ser provablement enunciada per primera volta per Piltz en 1884.

De la mateixa manera que l'hipòtesis original de Riemann, posseïx conseqüències que comprenen a la distribució dels número primo.

L'enunciat formal de l'hipòtesis és el següent. Un caràcter de Dirichlet és una funció aritmètica completament multiplicativa χ tal que existix un sancer positiu k en χ(n + k) = χ(n) para tot n i χ(n) = 0 sempre que mcd(n, k) > 1. Si tal caràcter existix, es definix la funció-L de Dirichlet corresponent per mig de

$L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}$

per a tot número complejo s en part real > 1. Per mig d'extensió analítica, esta funció pot ser estesa a una funció meromorfa definida sobretot el pla complex. L'hipòtesis generalisada de Riemann establix que para tot caràcter de Dirichlet χ i tot número complejo s en L(χ,s) = 0: si la part real de s es troba compresa entre 0 i 1, llavors és 1/2.

El cas χ(n) = 1 per a tot n conduïx a l'hipòtesis ordinària de Riemann.

Conseqüències de la HGR

Una successió aritmètica en els número natural és un conjunt de números del tipo a, a+d, a+2d, a+3d, ... a on a i d són número natural i d és distint de zero. El Teorema de Dirichlet establix que si a i d són coprimos, llavors dita successió aritmètica conté infinits número primo. Si π(x,a,d) és la cantitat d'número primo en dita successió que són menors o iguals a x. Si l'hipòtesis generalisada és verdadera, llavors per a cada coprimo a i d i per a cada ε > 0

$\pi (x,a,d)=\frac{1}{\phi (d)}\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\ln t}dt+O(x^{1/2+ϵ})\text{ cuando }x\to \mathrm{\infty }$

a on φ(d) és la funció phi de Euler i O és el símbol de Landau. Açò constituïx un reforç significatiu del teorema dels número primo, i constituïx el teorema dels número primo per a progressions aritmètiques.

Si la HGR és verdadera, llavors per a cada primer p existix una raïl primitiva mòdul p (un generador del grup multiplicativo de sancers mòdul p) que és menor que 70 (ln(p))²; lo que se sol utilisar en numeroses demostracions.

La conjectura dèbil de Goldbach també es deduïx a partir de l'hipòtesis generalisada de Riemann.

Si la HGR és verdadera, llavors es pot assegurar que el test de primalidad de Miller-Rabin corre en temps polinòmic. (Recentment s'ha publicat el test de primalidad AKS, que és un test de cosins en temps polinòmic que no requerix de la HGR.)

Si la HGR és verdadera, llavors es garantisa que l'algoritme de Shanks-Tonelli corre en temps polinòmic. L'algoritme de Shanks-Tonelli resulta útil per a trobar solucions de: $x^2\equiv nmodp$ a on n és un residu quadràtic mod p, p és primer i x és la variable incògnita. Dit algoritme és un pas important en l'algoritme d'factorización de la garbell quadràtic (Carl Pomerance).

Suponent que la HGR siga verdadera, l'estimat de la suma de caràcters en la desigualtat de Pólya-Vinogradov pot millorar-se a $O(\sqrt{q}\log \log q)$, sent q el mòdul del caràcter.

Hipòtesis estesa de Riemann (HER)

Suponent que K és un cos d'número algebraico (una extensió de cos de dimensió finita dels número racional Q) en anelle dels sancers O_K (este anell és la clausura integral dels sancers Z en K). Si a és un anell ideal d'O_K, distint del zero ideal denominem a la seua norma Na. La funció zeta de Dedekind de K està definida per mig de

${\zeta }_K(s)=\sum _a\frac{1}{(Na{)}^s}$

per a tot número complejo s en part real > 1. La suma s'estén sobre tots els ideals no nuls a d'O_K.

La funció zeta de Dedekind satisfà una equació funcional i pot ser estesa per mig d'una extensió analítica a tot el pla complex. La funció resultant conté informació important sobre el cos numèric K. L'hipòtesis estesa de Riemann establix que para tot camp numèric K i tot número complejo s en ζ_K(s) = 0: si la part real de s es troba entre 0 i 1, llavors val 1/2.

L'hipòtesis ordinària de Riemann s'obté a partir de l'estesa si es pren el camp dels números com a Q, en l'anell Z dels número entero.

Vore també

• Funció L de Artin