Teorema dels número primo

En teoria de números, la teorema dels número primo és un enunciat que descriu la distribució asintòtica dels número primo. Esta teorema dona una descripció general de cóm estan distribuïts els número primo en el conjunt dels número natural. Açò formalisa l'idea intuïtiva de que els cosins són menys comuns quant més grans són. És un de les teoremes més importants de la història de les matemàtiques, i té una gran influència en el desenroll posterior de l'investigació dels número primo.

La teorema també és conegut com a teorema de l'número primo o teorema del número de cosins.

La primera distribució trobada és π ( N ) Plantilla:Sfrac, a on π ( N ) és la funció contador d'número primo (el número de cosins menor o igual a N ) i ln( N ) és el logaritmo natural de N. Açò significa que per a un N suficientment gran, la provabilitat de que un sancer aleatori no major que N siga primer és molt propenca a Plantilla:Sfrac. En conseqüència, un número entero aleatori en un màxim de 2n dígits (per a un n suficientment gran) té aproximadament la mitat de provabilitats de ser primer que un número entero aleatori en un màxim de n dígits. Per eixemple, entre els sancers positius de 1000 dígits com a màxim, aproximadament un de cada 2300 és primer (ln (10¹⁰⁰⁰) ≈ 2302.6), mentres que entre els sancers positius de 2000 dígits com a màxim, aproximadament un de cada 4600 és primer (ln (10²⁰⁰⁰) ≈ 4605.2). En atres paraules, l'interval mig entre número primo consecutius entre els primers N sancers és aproximadament ln ( N ).

Expressió de la teorema

Gràfic comparatiu de π(x) (roig), x / ln x (verda) i Li(x) (blava).

Siga $\pi (x)$la funció contador d'número primo, que denota la cantitat de cosins que no excedixen a $x$. La teorema establix que:

$\pi (x)\sim \frac{x}{\ln (x)}$, a on $\ln (x)$ és el logaritmo natural de $x$.

Esta expressió no implica que la diferència de les dos parts de la mateixa per a valors de $x$ molt grans siga zero; només implica que el cocient d'estes per a valors de $x$molt grans és casi igual a 1.

Una millor aproximació que l'anterior ve donada per l'integral logarítmica desplaçada:

$\pi (x)\approx \mathrm{Li}(x)$ , a on $\mathrm{Li}(x)$ és l'integral logarítmica desplaçada de $x$.

Història

En 1792 o 1793, estant encara en el Collegium Carolinum, i sempre segons el propi Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»), est va anotar en la seua llibreta de notes:

«Número primo menors que a (= ∞) a/la», que en llenguage modern vol dir que π ( a ) per a valors cada volta més grans s'acosta al cocient Plantilla:Sfrac i es considera com «la primera conjectura de la teorema dels número primo». Ademés la funció π ( x ), que indica la cantitat d'número primo que no superen a x, va ser definida per Gauss.

La teorema dels número primo també va ser conjeturado per Adrien-Marie Legendre en 1798, indicant que π ( x ) semblava tindre la forma Plantilla:Sfrac , a on A i B són constants no especificades. En la segona edició del seu llibre de teoria de números (1808) va fer una conjectura més precisa, indicant que A = 1 i B = −1.08366. La conjectura va ser posteriorment refinada per Gauss en l'expressió que, actualment, s'associa més freqüentment a la teorema. Varen prestar contribucions significatives sobre esta proposició Legendre, Gauss, Dirichlet, Chebychev i Riemann.

La demostració formal de la teorema la varen fer de forma independent tant Jacques Hadamard com Charles-Jean de la Vallée Poussin en l'any 1896. Abdós demostracions es basaven en el resultat de que la funció zeta de Riemann $\zeta (z)$no té zeros de la forma s = 1 + it en t > 0. En realitat la demostració es va fer sobre una expressió alguna cosa més estricta de lo que s'indica en la definició anterior de la teorema, sent l'expressió demostrada per Hadamard i Poussin la següent:

$\pi (x)\approx \text{Li}(x)$

...a on:

$\text{Li}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dy}{\ln (y)}$.

Des de 1896 l'expressió associada a la teorema dels número primo ha segut millorada successivament, sent la millor aproximació actual la donada per:

$\pi (x)=\mathrm{L}\mathrm{i}(x)+O(x\exp (-\frac{A(\ln x{)}^{3/5}}{(\ln \ln x{)}^{1/5}}))$

a on $O(f(x))$es definix com la funció asintòtica a $f(x)$i $A$és una constant indeterminada.

Per a valors de $x$menuts s'havia demostrat que $\pi (x)<\text{Li}(x)$, lo que va dur a conjeturar a varis matemàtics en l'época de Gauss que $\text{Li}(x)$era una cota superior estricta de $\pi (x)$(açò és que l'equació $\pi (x)-\text{Li}(x)=0$no té solucions reals). No obstant, en 1912 J. E. Littlewood va demostrar que dita cota és creuada per a valors de $x$suficientment grans. El primer d'ells es coneix com a primer número de Skewes, i actualment se sap que és inferior a $10^{317}$, encara que es pensa que pot ser inferior inclús a $10^{176}$. En 1914 Littlewood va ampliar la seua demostració en l'inclusió de múltiples solucions a l'equació $\pi (x)-\text{Li}(x)=0$. Molts d'estos valors i troballes estan associats a la validea de la hipòtesis de Riemann.

Bibliografia

• Dorian Goldfeld. «The elementary proof of the prime number theorem:An historical perspective» (en anglés) (PDF). Consultat el 10 de febrer de 2011.