Dimensió fractal

Eixemple d'estimació de la dimensió de Hausdorff-Besicovitch per a la costa de Gran Bretanya.

En geometria de fractalés, la dimensió fractal, $D$ és un número real que generalisa el concepte de dimensió ordinària per a objectes geomètrics que no admeten espai tangente.

La dimensió fractal és un exponent que dona conte de cuán completament sembla omplir un fractal l'espai conforme s'amplia el primer cap a escales més i més fines. No existix una única dimensió fractal sino una série de dimensions que, freqüentment, resulten equivalents encara que no sempre. Entre estes definicions està la dimensió de Hausdorff-Besicovitch, la dimensió de la dimensió de empaquetamiento, la dimensió de homotecia i les dimensions de Rényi. Cap d'estes dimensions deuria ser tractada com a universal, ya que a voltes la discrepància entre elles està associada a diferències en l'estructura interna del fractal. Encara que per a un bon número de fractales clàssics els valors de les diferents definicions de dimensió fractal totes estes dimensions coincidixen, en general no són equivalents.

En la pràctica algunes definicions de dimensió fractal resulten més senzilles de calcular, i per això són més àmpliament usades, encara que no sempre tenen les propietats matemàtiques més desijables. Per eixemple la dimensió de conteo de caixes o de dimensió Minkowski-Bouligand i la dimensió de correlació són àmpliament usades en la pràctica, per la seua fàcil implementació algorítmica.

Per eixemple, la dimensió del cope de neu de Koch té una dimensió topològica d'un, pero no pot ser tractada com una curva; la llongitut entre qualssevol dos punts en el fractal (donada per la mida de Lebesgue) és infinita. Cap segment del fractal té semblat a una llínea, pero tampoc té semblat a una part d'un pla. En certa forma es podria dir que és massa gran per a poder ser considerada com un objecte unidimensional, pero és massa fina per a ser considerada un objecte bidimensional. Açò du a la pregunta de si la seua dimensió es descriu millor en un número entre un i dos. Esta és una manera simple de motivar l'idea de dimensió fractal.

Definicions

Hi ha principalment dos formes aproximades per a generar una estructura fractal. Una és fer-la créixer a partir d'un objecte i l'atra és construir les divisions subsecuentes d'una estructura original com en el triàngul de Sierpinski (Fig.(2)). En este cas se seguix la segona aproximació per a definir la dimensió de les estructures fractales.

Dimensió de homotecia

Fig.(1) Una atra forma de definir la dimensió.

Si es pren un objecte en un tamany llineal igual a 1 en una dimensió euclidiana $D$, i es reduïx el seu tamany per un factor de $1/l$ en cada direcció espacial, es necessiten un número $N=l^D$ d'objectes autosimilares per a cobrir l'objecte original (Fig.(1)). No obstant, en rebujar per a D, la dimensió definida per

és igual encara a la seua dimensió topològica o euclidiana. Aplicant l'equació anterior a una estructura fractal, es pot obtindre la dimensió de la mateixa (que és més o menys la dimensió de Minkowski-Bouligand) com un número no sancer, com s'esperava.

a on $N(\epsilon )$ és el número d'estructures autosimilares de costat llineal ε que es necessiten per a cobrir tota l'estructura.

Per eixemple, la dimensió fractal per al triàngul de Sierpinski (Fig.(2)) està donat per,

Fig.(2) Triàngul de Sierpinski.

Dimensió d'informació

Atres cantitats dimensionals inclouen la «dimensió d'informació» que considera cóm s'escala l'informació promig que es necessita per a identificar una caixa ocupada, conforme les caixes es tornen més menudes:

Dimensió de correlació

La dimensió de correlació és potser la més fàcil de calcular. Per a això es genera un gran número $N$ de punts a l'encert sobre una regió de l'espai euclídeo ${ℝ}^n$ que continga a l'objecte fractal $ℱ$. Sent el conjunt de punts generats a l'encert el conjunt finito $𝒫=\{x_1,\dots ,x_N\}$, es dirà $M\le N$ al número de punts cauen sobre el fractal, és dir, $M=\text{card}(ℱ\cap 𝒫)$; la dimensió fractal de correlació ve donada per:

a on $M$ és el número de punts utilisats per a generar una representació del fractal i $g_{\epsilon }$ és el número de parells de punts que es troben més propencs un a l'atre que $\epsilon$, és dir:

A on:

$H_{\epsilon }(x):=H(\epsilon -x)$

$H(\cdot )$, és la funció unitària de Heaviside

Dimensions de Rényi

Les tres anteriors poden vore's com a casos especials de les dimensions de Rényi d'orde α, definides com

El numerador és la cridada entropía de Rényi d'orde α. La dimensió de Rényi en α=0 tracta a totes les parts del atractor de manera similar, pero per a valors més grans de α es dona un major pes en el càlcul a les parts del atractor que són visitades en major freqüència. Pot demostrar-se la següent relació entre les dimensions de Rényi:

Un atractor per al qual les dimensions de Rényi no són totes iguals és conegut com un multifractal, o es diu que mostra estructura multifractal. Açò és una senyal de que un comportament a escala diferent ocorre en diferents parts del atractor.

Dimensió de Hausdorff-Besicovitch

Esta caracterisació de la dimensió fractal per mig de la dimensió de Hausdorff-Besicovitch es basa en considerar una coberta oberta per o boles obertes (n-esferes) del conjunt fractal, és dir, per a un fractal contingut en el pla euclídeo es consideren círculs oberts, i per a un fractal contingut en l'espai euclídeo tridimensional es consideren esferes (per a un fractal que siga un subconjunt de la recta real s'ampren intervals oberts). De tots els recobriment possibles es considera l'ínfim format per boles de diàmetro menor igual que un cert tamany $\epsilon$. Una volta computat eixe ínfim es considera el llímit $\epsilon \to 0$. Per a vore com es definix formalment el contingut de Hausdorff com:

En la definició anterior es complix que el contingut de Hausdorff definix una funció del conjunt potencia de ${ℝ}^n$ en els reals no negatius (ampliats en l'element $\mathrm{\infty }$):

Per a qualsevol conjunt $F\subset {ℝ}^n$ la funció anterior té la propietat interessant de ser nula per a $s>s_0$ i infinita per a $s<s_0$. El valor $s=s_0$ és un real positiu és precisament la dimensió de Hausdorff-Besicovitch, fet que pot formular-se com:

Dimensió d'empaquetat

Artícul principal → Dimensió d'empaquetat.

És similar a la dimensió de Hausdorff-Besicovitch pero es definix a partir d'empaquetamientos, en lloc de partir recobriment. Donada la medida s-dimensional de empaquetamiento ${𝒫}^s$, es pot comprovar que tal com succeïx per a la dimensió de Hausdorff-Besicovitch, existix un valor llindar s₀, cridat dimensió d'empaquetat (o dimensió de empaquetamiento), tal que:

Per eixa raó es pot definir la dimensió d'empaquetat simplement com:

Òbviament de les propietats de la mida de Hausdorff-Besicovitch i de la mida de empaquetamiento se seguix que:

Relació entre dimensions fractales

Per a algunes de les anteriors dimensions fractales ha pogut provar-se la següent série de desigualtats:

A on:

$D_T$ és la dimensió topològica que és sempre un sancer.

$D_{MB}$ és la dimensió de Minkowski-Bouligand o de conteo de caixes, a voltes cridada dimensió de Hausdorff.

$D_1$ és la dimensió d'entropía o dimensió de Kolmogórov.

$D_2$ és la dimensió de correlació.

$D_{\alpha }$ és la dimensió de Rényi de paràmetro $\alpha$.

$D_E$ és la dimensió d'empaquetat.

$D_{HB}$ és la dimensió de Hausdorff-Besicovitch que per als fractales clàssics sol ser un número irracional.

$D_C$ és la dimensió de l'espai euclídeo que conté al fractal que també és un número entero.

Alguns aclariments respecte a les desigualtats anteriors:

• La primera desigualtat $D_T\le D_{HB}$ es coneix com a desigualtat de Szpilrajn i és un dels principals resultats de la geometria fractal.
• Totes les dimensions anteriors són zero per a un conjunt finito.
• Les desigualtats $D_2\le D_1\le D_0$ són desigualtats entre les dimensions de Rényi, que són iguals per a un fractal autosimilar a totes les escales i diferixen en el cas d'objectes multifractalés.
• Per a molts conjunts autosimilares i conjunts tancats, les dimensions de Minkowski-Bouligand i Hausdorf-Besicovitch coincidixen $D_0=D_{MB}=D_{HB}$. No obstant, la dimensió de Hausdorff-Besicovitch pot diferir d'atres dimensions fractales, per eixemple el conjunt $I_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}\cap [0,1]$ d'número racional de l'interval [0,1] té $D_{HB}=0$ pero en canvi té $D_0=D_{MB}=1$.
• Si be la dimensió de Minkowski-Bouligand és zero per a un conjunt finito es pot tindre,$D_{MB}>0$ per a un conjunt numerable com a mostra l'eixemple anterior. Inclús conjunts numerables sense punts d'acumulació dins del conjunt poden tindre $D_{MB}>0$, per eixemple, el conjunt $\{1/n|n\in \mathbb{N}\wedge n\ge 1\}$ té dimensió $D_{MB}=1/2>0$. Per lo que la dimensió de Minkowski-Bouligand té la propietat indesijable de que $D_{MB}({\cup }_n{A}_n)>\sum _n{D}_{MB}(A_n)$ per a algunes coleccions numerables de conjunts $\{A_n|n\in \mathbb{N}\}$. Eixa és una de les raons que en molts casos es preferixca la dimensió de Hausdorff-Besicovitch que no presenta eixe problema.
• La dimensió d'empaquetat és sempre major o igual que la dimensió de Minkowski-Bouligand $D_{MB}\le D_E$.