¿Quànt medix la costa de Gran Bretanya?

«¿Quànt medix la costa de Gran Bretanya?» (en anglés, «How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension») és un artícul del matemàtic Benoît Mandelbrot publicat per primera volta en Science en 1967.

En este artícul Mandelbrot escomença, en certa evidència empírica, senyalant que la medició d'una llínea geogràfica real depén de la «regla de medir» o escala mínima usada per a medir-la, degut a que els detalls cada volta més fins d'eixa llínea apareixen en usar una regla de medir més menuda. A continuació Mandelbrot tracta el tema de les curves autosimilares que tenen dimensions fraccionales entre 1 i 2. Tals curves són eixemples de curves fractales, encara que Mandelbrot no ampra este terme en el seu artícul, puix no ho va falcar fins a 1975.

Introducció

L'artícul examina la paradoxa de que la llongitut d'una llínea costera depén de l'escala de mida. L'evidència empírica sugerix que quant menor és l'increment de mida, la llongitut medida s'incrementa. Si es va a medir una costa en trams de dèu quilómetros el perímetro obtingut serà menor que en trams d'un quilómetro. Açò es deu al fet de que s'estarà aproximant un tram més curt en el tram llarc que en el curt. L'evidència empírica sugerix una regla que, si es extrapola, mostra que la llongitut s'incrementa sense llímit a mida que la llongitut de la regla utilisada per a medir disminuïx.

En la primera part de l'artícul Mandelbrot discutix les investigacions publicades per Lewis Fry Richardson sobre si les distàncies medides de les costes i atres contorns geogràfics depenen de l'escala de mida. Richardson va observar que la distància medida L(G) de vàries fronteres de països era funció de l'escala de medida G. Reunint senyes de molts eixemples diferents, conjeturó que L(G) podia aproximar-se per una funció de la forma

$L(G)\ge M{G}^{1-D}$

Mandelbrot interpreta este resultat com que les costes i atres contorns geogràfics tenen una propietat de autosimilitud estadística, a on l'exponent D medix la dimensió Hausdorff de la vora. En esta interpretació, els eixemples de Richardson tenen dimensions que van des d'1.02 per a la costa de Suràfrica a 1.25 per a la costa occidental de Gran Bretanya.

L'artícul no assegura que cap llínea costera o vora geogràfica siga realment fractal —lo que seria físicament impossible—. Simplement declara que la distància medida d'una costa o frontera pot comportar-se empíricamente com un fractal a lo llarc d'un conjunt d'escales de mida.

En la segona part de l'artícul Mandelbrot descriu vàries curves relacionades en el cope de Koch, definides de tal forma que són estrictament autosimilares. Mandelbrot mostra cóm calcular la dimensió Hausdorff de cada una d'estes curves, que tenen una dimensió entre 1 i 2. També menciona la curva de Peano, que té dimensió 2.

L'artícul és important perque mostra el pensament primerenc de Mandelbrot sobre els fractalés i és un eixemple de la vinculació de les matemàtiques en les formes naturals, tema de gran part del seu treball posterior.