Dimensió de Hausdorff-Besicovitch

Archiu:Great Britain Hausdorff.svg

Eixemple d'estimació de la dimensió de Hausdorff-Besicovitch per a la costa de gran Bretanya

La dimensió de Hausdorff o dimensió de Hausdorff-Besicovitch és una generalisació mètrica del concepte de dimensió d'un espai topològic, que permet definir una dimensió fraccionaria (no sancera) per a un objecte fractal.

La mida va ser introduïda cap a 1917 per Felix Hausdorff, encara que va ser estudiada molt més extensivamente per Abram Besicovitch, a qui es deuen la majoria dels resultats teòrics i teoremes concernents tant a la mida de Hausdorff com a la dimensió fractal.

Mida de Hausdorff

Archiu:Es una gráfica de la medida de Hausdorff donde se muestra el salto de la función de infinito a cero.png

Contingut de Hausdorff d'un conjunt: per a valors de la dimensió inferiors a la dimensió de Haussdorff el contingut de Hausdorff és infinit, per a valors superiors el contingut és zero. Solament per a un valor igual a la dimensió de Hausdorff el contingut és una cantitat positiva i finita.

Siga $U\subset {ℝ}^n$ un conjunt no buit. El diàmetro de $U$ es definix com

Siga ara $I$ un conjunt arbitrari d'índexs. La colecció $\{U_i{\}}_{i\in I}$ es denomina $\delta$-recobriment de $F$ si:

• $F\subset \bigcup _{i\in I}{U}_i$; i
• $0<|U_i|\le \delta$, per a cada $i\in I$.

Siga $F\subset {ℝ}^n$ i $s$ un número no negatiu. Per a qualsevol $\delta >0$ es definix:

en a on l'ínfim es pren sobre tots els $\delta$-recobriment numerables de $F$. És possible verificar que ${\mathscr{H}}_{\delta }^s$ és de fet una medida exterior en ${ℝ}^n$.

La mida exterior $s$-dimensional de Hausdorff del conjunt $F$ es definix com el valor:

Este llímit existix, no obstant, com ${\mathscr{H}}_{\delta }^s$ creix quan $\delta$ decreix, pot ser infinit.

És fàcil vore que ${\mathscr{H}}^s$ és una mida exterior, aixina que, pel Teorema de Carathéodory, la restricció de ${\mathscr{H}}^s$ els conjunts ${\mathscr{H}}^s$-mesurables és de fet una mida, cridada medida s-dimensional de Hausdorff.

La mida de Hausdorff generalisa l'idea de llongitut, àrea i volum. La mida de dimensió zero conte el número de punts en un conjunts si el conjunt és finito, o és infinita si el conjunt ho és. La mida unidimensional medix la llongitut d'una curva suau en ${ℝ}^n$. La mida bidimensional d'un conjunt en ${ℝ}^2$ és proporcional a la seua àrea i análogamente la mida tridimensional d'un conjunt en ${ℝ}^3$ és proporcional al seu volum.

Un gràfic de ${\mathscr{H}}^s$ en funció de $s$ (vore figura) mostra que existix un valor crític de $s$ en el qual ${\mathscr{H}}^s$ canvia súbitamente de $\mathrm{\infty }$ a $0$.

El comportament de ${\mathscr{H}}^s(F)$ pot explicar-se de la següent manera: Es cobrix el conjunt $F$ en infinits conjunts de diàmetro chicotet $\delta \to 0$ i es calcula la suma de dits diàmetros elevats a la $s$-ésima potència. Si $s$ és menut, dites potències tendixen a $1$ lo que produïx que la suma divergixca. Si $s$ és gran, les $s$-ésimas potències tenen a zero i la suma tendix a anular-se.

Dimensió fractal de Hausdorff-Besicovitch

La dimensió de Hausdorff es definix com: