Dimensió d'empaquetat

La dimensió fractal d'empaquetat és una forma de dimensió fractal que en certs casos diferix de les dimensions fractales de Minkowski-Bouligand i d'Hausdorff-Besicovitch.

Definicions

La definició de la dimensió d'empaquetat és similar a la dimensió de Hausdorff-Besicovitch, encara que en molts casos diferix numèricament de la mateixa. La diferència clau entre abdós està en que la de Hausdorff-Besicovitch es definix prenent l'ínfim de recobriment de diàmetro acotat superiorment, mentres que la de empaquetamiento es definix prenent el suprem de empaquetamientos de diàmetro acotat superiorment.

Mida de empaquetamiento

Un δ-empaquetamiento sobre $E\subset {ℝ}^n$ es definix com un colecció finita o numerable de boles obertes disjuntas $\{B_i\}$ en ràdio menor que δ i centres sobre el conjunt $E$. Per a δ > 0 es definix:

Com desafortunadament, ${𝒫}_0^s$ no és una mida en el sentit de la teoria de la mida (per no ser contablemente subaditiva), es fa necessari, per a salvar esta dificultat, definir una atra entitat:

que ara sí és una mida de Borel sobre ${ℝ}^n$, i permet definir la dimensió de empaquetamiento. Esta última mida es denomina medida s-dimensional d'empaquetat. Similarment a com succeïx en la mida de Hausdorff, per a varietats diferenciables de dimensió sancera, ${𝒫}^1,{𝒫}^2,\dots$ són interpretables com la llongitut, l'àrea, etc. No obstant conjunts pròpiament fractales en para valors no sancers del superíndex ${𝒫}^s$, esta mida pot difererir notablement de la mida de Hausdorff ${\mathscr{H}}^s$, encara que sempre es complix que per a qualsevol conjunt mesurable:

Dimensió de empaquetamiento

Tal com succeïx per a la dimensió de Hausdorff-Besicovitch, existix un valor llindar s₀, cridat dimensió d'empaquetat (o dimensió de empaquetamiento), tal que:

Per eixa raó es pot definir la dimensió d'empaquetat simplement com:

Òbviament de les propietats de la mida de Hausdorff-Besicovitch i de la mida de empaquetamiento se seguix que: