Mida de Borel

En matemàtiques, específicament en teoria de mides, una mida de Borel en un espai topològic és una mida que es definix en tots els conjunts oberts (i per tant en tots els conjunts de Borel). Alguns autors exigixen restriccions adicionals a la mida, com es descriu a continuació.

Definició formal

Siga $X$ un espai de Hausdorff localment compacte, i siga $𝔅(X)$ la σ-àlgebra més menuda que conté els conjunts oberts de $X$; açò es coneix com a σ-àlgebra de conjunts de Borel. Una mida de Borel és qualsevol mida $\mu$ definida en la σ-àlgebra de conjunts de Borel. Alguns autors exigixen ademés que $\mu$ siga localment finita, lo que significa que $\mu (C)<\mathrm{\infty }$ per a cada conjunt compacte $C$. Si una mida de Borel $\mu$ és regular interior i exterior, es denomina mida de Borel regular. Si $\mu$ és regular interior, regular exterior i localment finita, es diu mida de radón.

En la recta real

La recta real $ℝ$ en la seua topología habitual és un espai de Hausdorff localment compacte; per tant, podem definir una mida de Borel sobre ell. En este cas, $𝔅(ℝ)$ és la σ-àlgebra més chicoteta que conté els intervals oberts de $ℝ$ . Si be hi ha moltes mides de Borel μ, l'elecció de la mida de Borel que assigna $\mu ((a,b])=b-a$ a cada interval mig obert $(a,b]$ a voltes se li crida "la" mida de Borel en $ℝ$ . Esta mida resulta ser la restricció a la σ-àlgebra de Borel de la mida de Lebesgue $\lambda$, que és una mida completa i es definix en la σ-àlgebra de Lebesgue. La σ-àlgebra de Lebesgue és en realitat la compleción de la σ-àlgebra de Borel, lo que significa que és la σ-àlgebra més chicoteta que conté tots els conjunts de Borel i pot equipar-se en una mida completa. Ademés, la mida de Borel i la mida de Lebesgue coincidixen en els conjunts de Borel (és dir, $\lambda (E)=\mu (E)$ per a cada conjunt mesurable de Borel, a on $\mu$ és la mida de Borel descrita anteriorment). Esta idea s'estén a espais de dimensió finita. ${ℝ}^n$ (el teorema de Cramér-Wold, més avall) pero no és vàlida, en general, per a espais de dimensions infinites. Les mides de Lebesgue de dimensió infinita no existixen.

Vore també

• Operador Jacobi