Mida de Lebesgue

En matemàtiques, la mida de Lebesgue és la forma estàndar d'assignar una llongitut, àrea o volum als subconjunts d'un espai euclídeo. S'usa en l'anàlisis real, especialment per a definir l'integració de Lebesgue. Els conjunts als que se'ls pot assignar un tamany es denominen Lebesgue-mesurables, o mesurables a seques si no hi ha ambigüitat sobre la mida; el volum o medida d'un conjunt Lebesgue-mesurable A es denota per λ(A). Un valor de ∞ para la mida de Lebesgue és perfectament possible, pero encara en eixe cas, si s'assumix l'axioma d'elecció, no tots els conjunts de Rⁿ són Lebesgue-mesurables. El comportament «estrany» dels conjunts no mesurables dona lloc a tals resultats com la paradoxa de Banach-Tarski, una conseqüència de l'axioma d'elecció.

Eixemples

• Si A és un interval tancat [a, b], la seua mida de Lebesgue és la llongitut b−a. L'interval obert (a, b) té la mateixa mida, puix la diferència entre els dos conjunts té mida zero.
• Si A és el producte cartesiano de dos intervals [a, b] i [c, d], és un rectàngul la mida del qual de Lebesgue és l'àrea (b−a)·(d−c).
• El conjunt de Cantor és un eixemple de conjunt no numerable en mida de Lebesgue zero.

Propietats

La mida de Lebesgue en Rⁿ té les següents propietats:

• Si A és un producte cartesiano d'intervals I₁ × I₂ × ... × I_n, és Lebesgue-mesurable i λ(A) = |I₁|·|I₂|·...·|I_n|, a on |I| denota la llongitut de l'interval I.
• Si A és una unió disjunta de finitos o contables conjunts Lebesgue-mesurables, A mateixa és Lebesgue-mesurable i λ(A) és igual a la suma (o série infinita) de les mides dels conjunts corresponents.
• Si A és Lebesgue-mesurable, també ho és el seu complement.
• λ(A) ≥ 0 para tot conjunt Lebesgue-mesurable A.
• Si A i B són Lebesgue-mesurables, i A ⊆ B, λ(A) ≤ λ(B) (conseqüència dels punts anteriors).
• Les unions i interseccions contables de conjunts Lebesgue-mesurables són aixina mateix Lebesgue-mesurables (conseqüència dels punts anteriors).
• Si A és un subconjunt obert o tancat de Rⁿ, és Lebesgue-mesurable.
• La mida de Lebesgue és localment finita i interna regular, i per lo tant una mida de Radon.
• Si A és un conjunt Lebesgue-mesurable en λ(A) = 0 (o conjunt nul), tot subconjunt de A és també un conjunt nul.
• Si A és Lebesgue-mesurable i x és un element de Rⁿ, la translació definida per A + x = {a + x : a ∈ A} és també Lebesgue-mesurable i, més encara, té la mateixa mida que A.

Lo anterior es pot resumir com seguix:

Els conjunts Lebesgue-mesurables formen una σ-àlgebra que inclou tots els productes d'intervals, i λ és l'única mida completa invariante per translació en eixa σ-àlgebra que complix λ([0,1] × [0,1] × ... × [0,1]) = 1.

La mida de Lebesgue té també la propietat de ser σ-finita.

Bibliografia

• Spiegel. Teoria i problemes de variables reals [...]. Série de compendios Shaum.