Integral de Lebesgue

Archiu:Integral-area-under-curve.png

L'integral d'una funció no negativa pot ser interpretada com l'àrea baixe la curva.

En Anàlisis matemàtic, la integral de Lebesgue és l'extensió i reformulación del concepte d'integral de Riemann a una classe més àmplia de funcions reals, aixina com estén els possibles dominis en els quals estes integrals poden definir-se. És una ferramenta que resol casos que no poden l'integral de Riemann o la de Stieljes.

L'integral de Lebesgue eixercita un paper molt important en l'anàlisis real, la teoria de la mida, teoria de provabilitats i en moltes atres branques de la matemàtica. Deu el seu nom al matemàtic francés Henri Lebesgue (1875-1941) que va propondre la noció i va demostrar les principals propietats d'este tipo d'integral en 1904.

Introducció

Feya molt que se sabia que per a funcions no negatives en una curva suficientment suau (com una funció contínua en intervals tancats) l'àrea baixe la curva podia definir-se com l'integral i calcular-se usant tècniques d'aproximació de la regió per mig de rectànguls o polígons. Pero com es necessitava considerar funcions més irregulars, es va fer evident que una aproximació més cuidadosa era necessària per a definir una integral que s'ajustara a dits problemes.

L'integral d'una funció $f$ entre els llímits d'integració $a$ i $b$ pot interpretar-se com l'àrea baixe la gràfica de $f$. Açò és fàcil d'entendre per a funcions que nos són familiars com els polinomis, l'exponencial o logarítmica, pero ¿qué vol dir per a funcions més exòtiques o en comportament errático? En general, ¿quin és la classe de funcions per a les quals el concepte de «àrea baixe la curva» té sentit? La resposta a esta interrogant té importància teòrica i pràctica fonamental.

Com a part del gran alvanç de les matemàtiques en el XIX, es varen fer varis intents de posar sobre bases sòlides el càlcul integral. l'integral de Riemann, proposta per Bernhard Riemann (1826-1866), va assentar la primera base sòlida sobre la qual es va desenrollar l'integral. La definició de Riemann escomença en la construcció d'una successió d'àrees rectangulars fàcilment calculables que convergixen a l'integral d'una funció donada. Esta definició és bona en el sentit que proveïx les respostes adequades i esperades per a molts problemes ya resolts, aixina com importants i útils resultats per a molts atres problemes.

No obstant, l'integració de Riemann no funciona be en prendre llímits de successions de funcions, dificultant el seu anàlisis. Açò és de vital importància, per eixemple, en l'estudi de la série de Fourier, la transformada de Fourier i atres temes. L'integral de Lebesgue permet saber cóm i quàn és possible prendre llímits baix el signe de l'integral.

La definició de Lebesgue també fa possible calcular integrals per a una classe més àmplia de funcions. Per eixemple, la funció de Dirichlet, que és 0 quan el seu argument és irracional i 1 en un atre cas (racional), té integral de Lebesgue, pero no de Riemann.

Construcció de l'integral de Lebesgue

L'exposició que seguix dona la definició més comuna d'esta integral, en la que la teoria d'integració es compon de dos parts, a saber:

1. Una teoria de conjunts mesurables i mides en estos conjunts.
2. Una teoria de funcions mesurables i integrals en estes funcions.

Teoria de la mida

La teoria de la mida es va crear per a dispondre d'un anàlisis detallat de la noció de llongitut dels subconjunts de punts de la recta real i, de forma més general, àrea i volum de subconjunts d'espais euclídeos. En particular, esta teoria nos brinda una resposta sistemàtica a la pregunta: ¿a quins subconjunts de $ℝ$ se'ls pot associar una llongitut? Com es va comprovar en desenrollar la teoria de conjunts, és impossible associar una llongitut a qualsevol subconjunt de $ℝ$ de tal manera que es complixquen les propietats d'invariancia per translació i de aditividad sobre l'unió conjunts. Estos conjunts es diuen no mesurables.

Naturalment, l'integral de Riemann usa implícitament el concepte de llongitut. Un element bàsic d'este tipo d'integral són els rectànguls de base $[a,b]$ i altura $[c,d]$ la llongitut de la qual (de la base) és $b-a$ i l'àrea de la qual és $(b-a)(d-c)$.

En el desenroll de la teoria els llibres més moderns (posteriors a 1950) s'usa el método axiomàtic per a definir la mida, és dir, que una mida és una funció $\mu$ definida sobre certs subconjunts d'un conjunt $E$ que satisfà una llista de propietats.

Integració de Lebesgue

Considerem $\mu$ una medida no negativa sobre σ-àlgebra $X$ de subconjunts de $E$. Per eixemple, $E$ pot ser un espai euclídeo n-dimensional ${ℝ}^n$ o algun subconjunt mesurable d'ell, $X$ pot ser el σ-àlgebra de tots els subconjunts mesurables de $E$, i $\mu$ pot ser la mida de Lebesgue. En la teoria de la provabilitat $\mu$ pot ser una funció de provabilitat sobre un espai de provabilitat $E$.

En la teoria de Lebesgue, el càlcul d'integrals es restringix a un tipo de funcions anomenades funcions mesurables. Una funció és mesurable si la preimagen de qualsevol interval tancat pertany a $X$, és dir, és un conjunt mesurable:

$f^{-1}([a,b])\in X\text{ para todo }a<b.$

El conjunt de funcions mesurables és tancat baix operacions algebraiques, encara que més important és el fet de que esta classe també és tancada en prendre llímits de successions de funcions:

$\underset{k\in \mathbb{N}}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_k,\underset{k\in \mathbb{N}}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_k$

és mesurable si les funcions que formen els térmens de la successió $\{f_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}$, són també mesurables.

Anem a construir l'integral de Lebesgue : $\underset{E}{\int }fd\mu$ per a funcions reals mesurables $f$ construïdes sobre $E$ en vàries etapes calculant les integrals de funcions senzilles:

Funció característica o indicadora: Donat un subconjunt $S$ mesurable contingut en $E$, la funció característica 1_S pren valor 1 per als elements pertanyents a $S$ i 0 per al restant.

${\mathrm{𝟏}}_S(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{si}x\in S\\ 0& \text{si}x\notin S\end{array}$

L'integral d'esta funció ha de ser la mida del conjunt $S$.

$\int 1_{S}d\mu =\mu (S)$

Funció simple: Una funció simple és de la forma $\varphi =\sum _k{a}_k{1}_{S_k}$, a on $a_k$ són número real i la suma és finita.

A partir del cas anterior més senzill es pot assumir que el resultat d'integrar una funció simple siga:

$\int \varphi d\mu =\int \left(\sum _k{a}_k{1}_{S_k}\right)d\mu =\sum _k{a}_k\int 1_{S_k}d\mu =\sum _k{a}_k\mu (S_k)$

A pesar de que una funció simple es puga expressar com a distintes sumes, el resultat de l'integral no varia.

Funció no negativa: Siga $f$ una funció no negativa mesurable sobre $E$. Es definix

$\underset{E}{\int }fd\mu =\sup \{\underset{E}{\int }\varphi d\mu :\varphi \le f,\varphi \text{simple}\}$

Funcions en signe: Una funció en signe definida sobre $E$ es pot escriure com sumixca de dos funcions no negatives:

$f=f^{+}-f^{-},$

a on

$f^{+}(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& \text{si}f(x)>0\\ 0& \text{en otro caso}\end{array}$

$f^{-}(x)=\{\begin{array}{cc}-f(x)& \text{si}f(x)<0\\ 0& \text{en otro caso}\end{array}$

Si abdós integrals verifiquen

$\int f^{+}d\mu <\mathrm{\infty },\int f^{-}d\mu <\mathrm{\infty },$

llavors es pot definir l'integral de Lebesgue de $f$ de la següent manera

$\int fd\mu =\int f^{+}d\mu -\int f^{-}d\mu$

Interpretació intuïtiva

Folland va resumir els dos distints modos d'aproximar-se al concepte d'integral de la següent forma: «per a calcular l'integral de Riemann es particiona (dividix) el domini $[a,b]$ en subintervalos», mentres que en l'integral de Lebesgue «es particiona el ranc de $f$».

Imaginem que volem calcular l'àrea d'una curva. Tenim dos métodos distints per a trobar una aproximació a esta àrea:

• Método de Riemann-Darboux, en el qual dividim la curva en columnes en la mateixa base i altura la corresponent a la curva en el centre de la columna. L'àrea de cada columna és igual a la seua altura per la seua base, i l'àrea total de la curva ve donada aproximadament per la suma de les àrees de totes les columnes. Este cas és equivalent a particionar l'interval horisontal $[a,b]$.

• Método de Lebesgue, en el qual fem una partició en l'image en capes horisontals, calculem les seues imàgens inverses i vàrem sumar les àrees $f(c_k)\mu (f^{-1}([y_{i-1},y_i]))$ , a on $c_k$pertany al sector en la partició. L'àrea total de la curva serà aproximada per la suma de les àrees de totes les àrees del tipo anterior $(a_k\mu (S_k))$, que són unions de rectànguls de mateixa altura.

Eixemple: la funció de Dirichlet $1_{\mathbb{Q}}$

Considerem la funció característica dels racionals $1_{\mathbb{Q}}$ definida sobre l'interval $[0,1]$. Esta funció no és contínua en cap punt del seu domini, ¿serà integrable?

• $1_{\mathbb{Q}}$' no és integrable en el sentit de Riemann $[0,1]$: no importa cuán fina siga una partició de l'interval $[0,1]$, qualsevol subintervalo contindrà a lo manco un número racional i un atre número irracional, ya que abdós conjunts són densos en els reals. Per tant, qualsevol suma superior serà 1, aixina com l'ínfim de totes les sumes superiors (suma superior de Riemann-Darboux) i qualsevol suma inferior serà 0, igual que el suprem de totes les sumes inferiors (suma inferior de Riemann-Darboux). Si el suprem i l'ínfim són distints l'integral de Riemann no existix.

• $1_{\mathbb{Q}}$ sí és integrable en el sentit de Lebesgue sobre $[0,1]$: ya que és la funció indicadora dels número racional, per definició

ya que $\mathbb{Q}$ és numerable.

Referències

• , 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brookes/Cole. Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.
• Folland, G. B., 1999. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. John Wiley & Sons.
• Paul Halmos, Measure Theory, D. van Nostrand Company, Inc. 1950. A classic, though somewhat dated presentation.
• Loomis, L. H., 1953. An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. Van Nostrand Company, Inc. Includes a presentation of the Daniell integral.
• Henri Lebesgue, 1972. Oeuvres Scientifiques. L'Enseignement Mathématique.
• Munroe, M. E., 1953. Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley. Good treatment of the theory of outer measures.
• Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
• Walter Rudin, 1976. Principles of Mathematical Analysis, 3rd. ed. McGraw-Hill. Known as Little Rudin, contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as Fubini's theorem.
• Walter Rudin, 1966. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. Known as Big Rudin. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

• Guillermo Grabinsky S., 2009. Teoria de la mida. Servicis editorials de la facultat de ciències, UNAM.
• Spiegel, Murray R., Ph. D. Variables reals Mida i integració de Lebesgue Llibres Mc Graw -Hill Cali Colòmbia ( 1976)