Integral de Riemann-Stieltjes

Archiu:ThomasStieltjes.jpeg

Thomas Joannes Stieltjes (Zwolle, 29 de decembre de 1856 - Toulouse, 31 de decembre de 1894), matemàtic holandés.

En matemàtiques, la integral de Riemann-Stieltjes és una generalisació de l'integral de Riemann, cridada aixina per Bernhard Riemann i Thomas Joannes Stieltjes. La definició d'esta integral va ser publicada per primera volta en 1894 per Stieltjes. Servix com un precursor instructivo i útil de l'integral de Lebesgue i una ferramenta inestimable per a unificar formes equivalents de teoremes estadístiques que s'apliquen en la provabilitat discreta i contínua.

A diferència de l'integral de Riemann, que depén d'una sola funció $f$ cridada integrant, l'integral de Riemann-Stieltjes depén de dos funcions, l'integrant $f$ i una funció $\alpha$ cridada integrador.

Per a l'integral de Riemann-Stieltjes s'utilisa el següent símbol: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd\alpha$.

Definició formal de l'integral de Riemann-Stieltjes

Siga $P=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$una partició d'un interval $[a,b]$ (en $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$). Cridem suma de Riemann-Stieltjes a una suma de la forma

$\sum _{k=1}^{n}f(t_k)(\alpha (x_k)-\alpha (x_{k-1}))$, en $x_{k-1}\le t_k\le x_k,k=1,2,\mathrm{...},n$

Esta suma se simbolisa com $S(P,f,\alpha )$. Es diu que $f$ és Riemann-Stieltjes integrable respecte a $\alpha$ en l'interval $[a,b]$ si existix un número $A$ tal que, per a tot número real positiu $\epsilon$ existix una partició $P_{\epsilon }$ que complix en que para tota partició $P$ més fina que $P_{\epsilon }$ i per a qualsevol elecció dels $t_k$, tenim$|S(P,f,\alpha )-A|<\epsilon$

La conexió entre l'integral de Riemann "estàndart" i l'integral de Riemann-Stieltjes es produïx quan la funció integradora $\alpha (x)$ és la funció identitat, és dir, $\alpha (x)=x$.

La (*)-integral

Per a definir l'integral de Riemann utilisem la norma d'una partició, esta definició es pot ampliar a que siga semblada a la de Riemann-Stieltjes, esta integral es diu la (*)-integral (que de fet esta és la definició que originalment va propondre Stieltjes, i que després Pollard, propondria la que actualment usem, la que està dalt):

Una funció $f$ acotada definida en un interval $[a,b]$ es diu que és (*)-integrable sobre $\alpha$ en $[a,b]$ si existix un número $A$ en els reals tal que, per a tot número real positiu $\epsilon$ existix una $\delta$ positiva tal que si $P$ és una partició de $[a,b]$ en $\Vert P\Vert <\delta$ i $S(P,f,\alpha )$ és qualsevol suma de Riemann-Stieltjes llavors$|S(P,f,\alpha )-A|<\epsilon$.

El problema en esta definició és que no nos permet derivar totes les propietats que nos agradaria, específicament existixen funcions que són (*)-integrables sobre una atra funció en els intervals $[a,c]$ i $[c,b]$, pero que no ho són en $[a,b]$, un eixemple de tals funcions és el següent:

Sean $f$ i $\alpha$ les següents funcions:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ si }0\le x<\frac{1}{2}\\ 1& \text{ si }\frac{1}{2}\le x\le 1\end{array}$

$\alpha (x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ si }0\le x\le \frac{1}{2}\\ 1& \text{ si }\frac{1}{2}<x\le 1\end{array}$

Per a estes dos funcions succeïx lo que es comenta dalt. El problema radica que els punts de la partició no els podem elegir nosatres quan s'utilisa la definició de la (*)-integral.

Propietats de l'integral de Riemann-Stieltjes

• És llineal respecte a l'integrant i a l'integrador, és dir, es complix que:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(c_{1}f(x)+c_{2}g(x))d\alpha (x)=c_1\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d\alpha (x)+c_2\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)d\alpha (x)$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d(c_1\alpha (x)+c_2\beta (x))=c_1\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d\alpha (x)+c_2\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d\beta (x)$

• De la mateixa manera que les integrals de Riemann, una integral en un interval $[a,b]$ pot separar-se en la suma de dos integrals en els intervals $[a,c]$ i $[c,b]$, en $a<c<b$:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d\alpha (x)=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)d\alpha (x)+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)d\alpha (x)$

• Existix la propietat de integració per parts: Si $f$ és integrable respecte a $\alpha$, llavors $\alpha$ és integrable respecte a $f$ i entre abdós integrals existix la següent relació:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d\alpha (x)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha (x)df(x)=f(b)\alpha (b)-f(a)\alpha (a)$.

Note's que esta propietat coincidix en la fòrmula d'integració per parts per a integrals de Riemann si l'integrador $\alpha (x)$ té derivada contínua ${\alpha }^{\prime }(x)$, cas en el que es pot convertir l'integral de Riemann-Stieltjes en l'integral de Riemann del producte $f(x){\alpha }^{\prime }(x)$.

Referències

Bibliografia

• Apostol, Tom M. 1960. Anàlisis Matemàtic (Mathematical Analysis), trad., ed. Reverté S. A.
• Bartle, Robert G. 1982. Introducció a l'Anàlisis Matemàtic (The Elements of Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A.