Mida completa

En matemàtiques, una mida completa (o, més precisament, un espai de mides complet) és un espai de mides en el que cada subconjunt de cada conjunt nul és mesurable (tenint medida zero). Més formalment, un espai de mida (X, Σ, μ) està complet si i només si ^[1] ^[2]

S \subseteq N \in Σ and μ (N) = 0 \Rightarrow S \in Σ .

Motivació

La necessitat de considerar qüestions de completitud es pot ilustrar considerant el problema dels espais de productes.

Supongam que ya hem construït la mida de Lebesgue en la recta real: denotem este espai de mides per $(ℝ, B, λ) .$ Ara desigem construir alguna mida de Lebesgue bidimensional. $λ^{2}$ en el pla $ℝ^{2}$ com mida del producte. Ingenuament, prendríem el 𝜎 -àlgebra $ℝ^{2}$ ser $B \otimes B,$ l'àlgebra 𝜎 més chicoteta que conté tots els "rectànguls" mesurables $A_{1} \times A_{2}$ per a $A_{1}, A_{2} \in B .$

Si ben este enfocament definix un espai de mides, té un defecte. Ya que cada conjunt singleton té una mida de Lebesgue unidimensional zero, $λ^{2} ({0} \times A) \leq λ ({0}) = 0$ per a subconjunt $A$ de $ℝ .$ No obstant, supongam que $A$ és un subconjunt no mesurable de la llínea real, com el conjunt de Vitali. Llavors el $λ^{2}$ -mida de ${0} \times A$ no està definit pero ${0} \times A \subseteq {0} \times ℝ,$ i este conjunt més gran té $λ^{2}$ -mida zero. Per lo tant, esta "mida de Lebesgue bidimensional", tal com s'acaba de definir, no està completa i es requerix algun tipo de procediment de finalisació.

Construcció d'una mida completa (compleción)

Donat un espai de mida (possiblement incomplet) (X, Σ, μ), hi ha una extensió (X, Σ₀, μ₀) d'este espai de mida que està complet. ^[3] L'extensió més chicoteta (és dir, la σ -àlgebra Σ ₀ més menuda) es diu compleción de l'espai de mides.

La terminació es pot construir de la següent manera:

siga Z el conjunt de tots els subconjunts dels subconjunts de mida μ zero de X (intuitivament, aquells elements de Z que encara no estan en Σ sò els que impedixen que l'integritat siga certa);
siga Σ ₀ el σ -àlgebra generat per Σ i Z (és dir, el σ -àlgebra més chicotet que conté cada element de Σ i de Z);
μ té una extensió μ ₀ a Σ ₀ (que és única si μ és σ -finita), cridada mida exterior de μ, donada pel mínim

μ_{0} (C) : = \inf {μ (D) ∣ C \subseteq D \in Σ_{0}} .

Llavors (X, Σ₀, μ₀) és un espai de mida complet i és la finalisació de (X, Σ, µ).

En la construcció anterior es pot demostrar que cada membre de Σ ₀ és de la forma A ∪ B per a alguns A ∈ Σ i una miqueta de B ∈ Z, i

μ_{0} (A \cup B) = μ (A) .

Referències

Plantilla:Springer

↑ Halmos, Paul R. (1950). Measure Theory, New York, NY: Springer New York, pp. 31. doi:10.1007/978-1-4684-9440-2. ISBN 978-1-4684-9442-6.
↑ de Barra (2003). Measure theory and integration, Woodhead Publishing Limited, pp. 94. doi:10.1533/9780857099525. ISBN 978-1-904275-04-6.
↑ Rudin, Walter (2013). Real and complex analysis, 3. ed., internat. ed., [Nachdr.] edició, New York, NY: McGraw-Hill, pp. 27–28. ISBN 978-0-07-054234-1.

Este artícul conté una traducció derivada de «Medida completa» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Halmos, Paul R. (1950). Measure Theory, New York, NY: Springer New York, pp. 31. doi:10.1007/978-1-4684-9440-2. ISBN 978-1-4684-9442-6.

[2] Barra (2003). Measure theory and integration, Woodhead Publishing Limited, pp. 94. doi:10.1533/9780857099525. ISBN 978-1-904275-04-6.

[3] Rudin, Walter (2013). Real and complex analysis, 3. ed., internat. ed., [Nachdr.] edició, New York, NY: McGraw-Hill, pp. 27–28. ISBN 978-0-07-054234-1.

[1]

[2]

[3]