Teorema de Wilson

En matemàtiques, particularment en teoria de números i àlgebra abstracta, la teorema de Wilson és una proposició clàssica vinculada en la divisibilidad i la primalidad d'número entero. A continuació, es presenta el seu enunciat:

La proposició recíproca també és verdadera, per lo que pot afirmar-se que un número n> 1 és primer si i solament si (n− 1)! ≡ − 1 (mod n). No obstant, solament l'implicació de dalt és coneguda com a teorema de Wilson (o Congruència de Wilson). Per tant, la teorema, provat el seu recíproc, proporciona una condició necessària i suficient per a que l'número entero $k$ siga primer.

Història

Va ser atribuït a John Wilson per Edward Waring, qui en 1770 va comentar sobre que Wilson deixara anotat la troballa. No hi ha evidència de que Wilson haguera trobat la demostració, i certament Waring no la va trobar. Va ser Lagrange qui, en 1771 va donar la primera demostració. En tota propietat, la teorema deu ser atribuït a Abu 'Ali al-Hasan ibn al-Haytham, cridat en Occident Alhazen, qui ho va formular al començament de el XI.

Eixemple

La següent taula mostra els valors de n des de 2 a 30, (n-1)!, I el restant al (n-1)! es dividix per n. (El restant quan m es dividix per n s'escriu m mod n). El color de fondo és de color rosa per als valors primers de n, color vert clar per a valors composts.

Taula de restant mòdul n

n>1	$(n-1)!$	$(n-1)!modn$	-1 mod n
2	1	1	1
3	2	2	2
4	6	2	3
5	24	4	4
6	120	0	5
7	720	6	6
8	5040	0	7
9	40320	0	8
10	362880	0	9
11	3628800	10	10
12	39916800	0	11
13	479001600	12	12
14	6227020800	0	13
15	87178291200	0	14
16	1307674368000	0	15
17	20922789888000	16	16
18	355687428096000	0	17
19	6402373705728000	18	18
20	121645100408832000	0	19
21	2432902008176640000	0	20
22	51090942171709440000	0	21
23	1124000727777607680000	22	22
24	25852016738884976640000	0	23
25	620448401733239439360000	0	24
26	15511210043330985984000000	0	25
27	403291461126605635584000000	0	26
28	10888869450418352160768000000	0	27
29	304888344611713860501504000000	28	28
30	8841761993739701954543616000000	0	29

Vore també

• Aritmètica modular
• Teorema de Euler
• Menuda teorema de Fermat

Referències

Lliteratura consultada

• Reid, Constance (2006). From Zero to Infinity: What Makes Numbers Interesting, Massachusetts (USA): AK Peters. ISBN 1568812736.