Grup de Galois

Archiu:Evariste galois.jpg

Évariste Galois 1811-1832

En matemàtica, un grup de Galois és un grup associat a un cert tipo d'extensió de cos. L'estudi de les extensions de cossos (i els polinomis que donen lloc a elles) per mig del grup de Galois és conegut com teoria de Galois.

Per a vore una discussió més elemental dels grups de Galois en térmens dels grups de permutació, vore l'artícul sobre teoria de Galois .

Definició de grup de Galois

Supongam que I és una extensió del cos F. Considerem el conjunt de tots els automorfismes de cossos de I/F; açò és, els isomorfismes α de I a sí mateixa, tal que α(x) = x per a cada x en F. Este conjunt d'automorfismes junt en l'operació de composició de funcions forma un grup G, denotat habitualment Aut(I/F) o ${\mathrm{Aut}}_{F}E$.

Si I/F és una extensió de Galois, llavors G és cridat el grup de Galois de l'extensió, i es denota normalment Gal(I/F). L'importància de que una extensió siga de Galois es deu a que obedix al teorema fonamental de la teoria de Galois.

Es pot demostrar que I és algebraic sobre F si i només si el grup de Galois és profinito.

Eixemples

En els següents casos F és un cos, i C, R, Q són els cossos dels números complexos, reals, i racionals, respectivament. La notació F(a) indica l'extensió de cos obtinguda per unió d'un element a al cos F.

• Gal(F/F) és el grup trivial que té un sol element, cridat l'automorfisme identitat.
• Gal(C/R) té dos elements, l'automorfisme identitat i l'automorfisme de conjugació complexa.
• Aut(R/Q) és trivial. En efecte, es pot mostrar que qualsevol Q-automorfisme deu preservar l'orde dels número real i, per lo tant, deu ser l'identitat.
• Aut(C/Q) és un grup infinit.
• Gal(Q(√2)/Q) té dos elements, l'automorfisme identitat i l'automorfisme el qual intercanvia √2 i −√2.
• Considere's el cos K = Q(³√2). El grup Aut(K/Q) conté únicament l'automorfisme identitat. Açò és perque K no és una extensió normal, ya que les atres dos raïls cúbiques de 2 (abdós complexes) no es troben en l'extensió — en atres paraules, K no és un cos de descomposició.
• Considere's ara L = Q(³√2, ω), a on ω és la tercera raïl primitiva de l'unitat. El grup Gal(L/Q) és isomorfo a S₃, el grup diédrico d'orde 6, i L és, en efecte, el cos de descomposició de x³ − 2 sobre Q.
• Si q és una potència primera, i si F = GF(q) i I = GF(qⁿ) denota el cos de Galois d'orde q i qⁿ respectivament, llavors Gal(I/F) és cíclico d'orde n.
• Si f és un polinomi irreducible de grau primer p en coeficients racionals i exactament en dos raïls no reals, llavors el Grup de Galois de f és el grup simètric completeS_p.

Vore també

• Grup absolut de Galois