Grup absolut de Galois

En matemàtica, el grup absolut de Galois G_K d'un cos K és el grup de Galois de K^sep sobre K, a on K^sep és una clausura separable de K. Alternativament és el grup de tots els automorfismes de la clausura algebraica de K que fixa K. El grup absolut de Galois és únic llevat isomorfisme. És un grup profinito.

(Quan K és un cos perfecte, K^sep és el mateix que una clausura algebraica K^alg de K. Açò es complix, per eixemple, per a K de característica zero, o K si és cos finito.)

Eixemples

• El grup absolut de Galois d'un cos algebraicamente tancat és trivial.
• El grup absolut de Galois dels número real és un grup cíclico de dos elements (conjugació complexa i mapa identitat), ya que $ℂ$ és la clausura separable de $ℝ$ i $[ℂ:ℝ]=2$.
• El grup absolut de Galois d'un cos finito K és isomorfo al grup

$\hat{\mathbb{Z}}=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

l'automorfisme de Frobenius Fr és un generador canònic (topològic) de G_K. (Resenyar que Fr(x) = x^q per a tot x en K^alg, a on q és el número d'elements en K.)

• El grup absolut de Galois del cos de les funcions racionals en coeficients complexos és lliure (com un grup profinito). Este resultat va ser donat per Adrien Douady i té els seus orígens en el teorema d'existència de Riemann.
• Més generalment , siga C un cos algebraicamente tancat i x una variable. Llavors el grup de Galois absolut de K=C(x) està lliure de ranc i igual a la cardinalidad de C. Este resultat va ser donat per David Harbater i Florian Pop, i va ser demostrat més vesprada per Donen Haran i Moshe Jarden usant métodos algebraics.
• Siga K una extensió finita dels números p-ádicos Q_p. Per a p ≠ 2, el seu grup absolut de Galois és generat per [K:Q_p] + 3 elements i té una descripció explícita per generadors i relacions. Este és un resultat de Uwe Jannsen i Kay Wingberg. Alguns resultats són coneguts per al cas p = 2, pero l'estructura general per a Q₂ no és coneguda.

Un atre cas per al qual ha segut determinat el grup de Galois absolut és per al més gran subcuerpo totalment real del cos dels número algebraico.

Problemes

• Encara no es coneix una descripció directa per al grup de Galois absolut dels número racional. En este cas, se seguix del teorema de Belyi que el grup absolut de Galois té una acció lleal sobre el dessins d'enfants d'Alexander Grothendieck (mapes sobre superfícies), habilitant-nos el «vore» la teoria de Galois dels cossos d'número algebraico.

• Siga K la màxima extensió abeliana dels número racionals. Llavors, la conjectura de Shafarevich assegura que el grup absolut de Galois G_K és un grup profinito lliure.

Referències

• M. D. Fried and M. Jarden, Field Arithmetic, Second Edition, revised and enlarged by Moshe Jarden, Ergebnisse der Mathematik (3) 11, Springer, Heidelberg, 2004.