Extensió de Galois

En àlgebra abstracta, una extensió de cos algebraica I/K es diu extensió de Galois (o extensió galoisiana) si és una extensió normal i separable. En este cas, es pot considerar el grup de Galois de l'extensió i sobre ell és vàlida la tesis de la Teorema Fonamental de la Teoria de Galois.

Definició

Siga l'extensió I sobre un cos base K (I/K).

Per ser normal, I és el cos de descomposició d'un polinomi en coeficients en K; o, equivalentement, les K-immersions d'I en un cos algebraicamente tancat que continga a K són automorfismes d'I sobre K. Per ser separable, dit polinomi descompon completament en raïls simples.

Grup de Galois

Sobre una extensió de Galois I/K, es definix el grup de Galois Gal(I/K) com el grup dels automorfismes de I sobre K. Per ser I/K normal, tota K-immersió entre I i Ω és un automorfisme i es té:

$\mathrm{Gal}(E/K)={\mathrm{Aut}}_K(E)=\{\sigma :E\to \overline{K}:\sigma K\text{-}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{n}\}$

sent el cardinal del grup $|\mathrm{Gal}(E/K)|=|{\mathrm{Aut}}_K(E)|=[E:K]$.