Undècim problema de Hilbert

El undècim problema de Hilbert (un dels coneguts com vintitrés Problemes de Hilbert, publicats en 1900 pel matemàtic alemà David Hilbert), implica una ampliació de la teoria de formes quadràtiques. El problema es va plantejar de la següent manera:

El nostre coneiximent actual de la teoria de cossos quadràtics nos coloca en posició d'atacar en èxit la teoria de formes quadràtiques en qualsevol número de variables i en qualsevol coeficient numèric algebraic. Açò conduïx en particular a un problema interessant: resoldre una equació quadràtica donada en coeficients numèrics algebraics en qualsevol número de variables per mig d'número entero o fraccionarios pertanyents a l'àmbit algebraic de la racionalitat determinada pels coeficients.

Treballs sobre el problema

Com afirma Kaplansky, "L'undècim problema és simplement est: classificar les formes quadràtiques sobre el cos d'número algebraico". Açò és exactament lo que va fer Minkowski per a la forma quadràtica en coeficients fraccionarios. Una forma quadràtica (no una equació quadràtica) és qualsevol polinomi en el que cada terme té variables que apareixen exactament dos voltes. La forma general de dita equació és ax²+bxy+cy² (tots els coeficients deuen ser número entero).

Es diu que una forma quadràtica donada representa un número natural si la substitució de números específics per les variables dona el citat número. Gauss i els que li varen seguir varen descobrir que si es canvien les variables de determinades formes, la nova forma quadràtica representava els mateixos número natural que l'antiga, pero en una forma diferent i més fàcil d'interpretar. Va usar esta teoria de formes quadràtiques equivalents per a provar els resultats de la teoria de números. Lagrange, per eixemple, havia demostrat que qualsevol número natural pot expressar-se com la suma de quatre quadrats. Gauss va demostrar açò usant la seua teoria de relaciones d'equivalència^{cita requerida} mostrant que l'expressió quadràtica $w^2+x^2+y^2+z^2$ representa tots els número natural. Com es va mencionar anteriorment, Minkowski va crear i va demostrar una teoria similar per a formes quadràtiques que tenien fraccions com a coeficients. L'undècim problema de Hilbert fa referència a una teoria similar. És dir, un modo de classificació per a que es puga saber si una forma és equivalent a una atra, pero en el cas de que els coeficients puguen ser número algebraico. Helmut Hasse va conseguir demostrar-ho usant el seu principi local-global i el fet de que la teoria és relativament simple per als sistemes de números p-ádicos en octubre de 1920. Va publicar el seu treball en 1923 i 1924. Vore principi de Hasse i teorema de Hasse-Minkowski. El principi local-global afirma que un resultat general sobre un número racional o inclús tots els número racional a sovint es pot establir verificant que el resultat siga verdader per a cada u dels sistemes numèrics p-ádicos.

També hi ha un treball més recent sobre l'undècim problema de Hilbert que estudia quàn un número entero es pot representar per mig d'una forma quadràtica. Un eixemple és el treball de Cogdell, Iliá Piatetski-Shapiro i Sarnak.

Vore també

• Problemes de Hilbert

Bibliografia

• Yandell, Benjamin H. The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers. Natik: K Peters. Print.