Catorzé problema de Hilbert

El catorzé problema de Hilbert (un dels coneguts com vintitrés Problemes de Hilbert, publicats en 1900 pel matemàtic alemà David Hilbert), pregunta si certes àlgebra són finitamente generades.

La configuració és la següent: Suponga's que k és un cos i siga K un subcuerpo del cos de funcions racionals de n variables,

k(x₁, ..., x_n) sobre k.

Considere's ara el k-àlgebra R definida com l'intersecció

$R:=K\cap k[x_1,\dots ,x_n].$

Hilbert conjeturó que totes estes àlgebra es generen de forma finita sobre k.

En acabant de que es varen obtindre alguns resultats que confirmaven la conjectura de Hilbert en casos especials i per a certes classes d'anells (en particular, la conjectura va ser provada incondicionalment per a n=1 i n=2 per Oscar Zariski en 1954), posteriorment, en 1959, Masayoshi Nagata va trobar un contraeixemple a la conjectura de Hilbert. El contraeixemple de Nagata és un anell de invariantes adequadament construït per a l'acció d'un grup algebraic llineal.

Història

El problema va sorgir originalment en la teoria invariante algebraica. Ací l'anell R es dona com un anell (adequadament definit) de invariantes polinomiales d'un grup algebraic llineal sobre un cos k que actua algebraicamente sobre un anell de polinomis k[x₁,. .., x_n] (o més generalment, en un àlgebra generada finitamente definida sobre un camp). En esta situació el camp K és el camp de funcions racionals (cocients de polinomis) en les variables x_i que són invariantes baix l'acció donada del grup algebraic, l'anell R és l'anell de polinomis que són invariantes baix l'acció. Un eixemple clàssic en el XIX va ser l'extens estudi (en particular, acomés per Cayley, Sylvester, Clebsch, Paul Gordan i també Hilbert) de invariantes de formes binarias en dos variables en l'acció natural del grup llineal especial SL₂(k) sobre ell. El propi Hilbert va demostrar la generació finita d'anells invariantes en el cas del camp dels número complejo per a alguns grups de Lie semi-simples clàssics (en particular, el grup llineal general sobre els número complejo) i accions llineals específiques sobre anells polinomiales, és dir, accions que provenen de representacions de dimensió finita dels Grup de Lie. Este resultat de finitud va ser estés posteriorment per Hermann Weyl a la classe de tots els grups de Lie semi-simples. Un ingredient important en la demostració de Hilbert és el teorema de la base de Hilbert aplicat al ideal dins de l'anell polinomial generat per les invariantes.

Formulació de Zariski

La formulació de Zariski del catorzé problema de Hilbert pregunta si, per a una varietat algebraica cuasi-afí X sobre un camp k, possiblement assumint X normal o suau, l'anell de les funcions regulars en X és finito generat sobre k.

Es va demostrar que la formulació de Zariski és equivalent al problema original, per a X normal. (Consulte també: teorema de finitud de Zariski).

Éfendiev F.F. (Fuad Efendi) va proporcionar un algoritme simètric que genera una base de invariantes de formes n-àries de grau r.

Vore també

• Derivació localment nilpotent

Bibliografia

• (1960).«Proc. Internat. Congress Math. 1958».Cambridge University Press.

459–462.Consultat el 22 de febrer de 2021.

• (1965).«Lectures on the fourteenth problem of Hilbert».Tata Institute of Fonamental Research.Bombay:31
• (2008).«Hilbert's 14th problem over finite fields and a conjecture on the cone of curves».Compositio Mathematica.144(5)

1176–1198.ISSN 0010-437X.doi:10.1112/S0010437X08003667.

• O. Zariski, "Interpretations algebrico-geometriques du quatorzieme probleme de Hilbert", Bulletin dones Sciences Mathematiques 78 (1954), págs. 155-168.