Teorema de la base de Hilbert

En matemàtiques, la teorema de la base de Hilbert o teorema fonamental de Hilbert pren el seu nom de David Hilbert, que va anar el primer en provar-ho en 1888.

Afirma que un anell de polinomis sobre un anell noetheriano també és noetheriano

Enunciat

Siga $A$ un anell conmutativo dotat en l'unitat (l'unitat pot ser 0, llavors $A=0$). Es diu que $A$ és noetheriano si tot ideal de $A$ està finitamente generat. És fàcil provar que quan es complixen les tres següents condicions els dos enunciats equivalen entre sí:

1. $A$ és noetheriano.
2. Tot conjunt no buit d'ideals de $A$ admet un element maximal
3. $A$ complix la condició de cadena ascendent (ACC o CCA):

Si

$I_0\subseteq I_1\subseteq \cdots \subseteq I_n\subseteq \cdots$

és una cadena d'ideals, llavors existix $N$ tal que

$I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\cdots$.

Teorema fonamental de Hilbert

Teorema. Si

$A$

és noetheriano, llavors

$A[X]$

és noetheriano.

Corolari. Si

$A$

és noetheriano, llavors

$A[X_1,\dots ,X_n]$

és noetheriano.

El corolari s'obté aplicant la teorema de Hilbert en inducció sobre $n$.