Setzé problema de Hilbert

El setzé problema de Hilbert (un dels coneguts com vintitrés Problemes de Hilbert, publicats en 1900 pel matemàtic alemà David Hilbert), es va plantejar en la seua forma original com el Problema de la topología de curves i superfícies algebraiques ("Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen").

En realitat, consistix en dos problemes similars en diferents branques de les matemàtiques:

• Una investigació de les posicions relatives de les branques de les curves algebraiques reals de grau n (i de manera similar per a les superfícies algebraiques).
• La determinació del llímit superior per al número de cicles llímit en camps vectorials polinòmics bidimensionales de grau n i una investigació de les seues posicions relatives.

El primer problema encara no està resolt per a n = 8. Per lo tant, este problema és lo que generalment es considera el setzé problema de Hilbert en geometria algebraica real. El segon problema també permaneix sense resoldre: no es coneix un llímit superior per al número de cicles llímit per a cap n > 1, i açò és lo que generalment s'entén pel setzé problema de Hilbert en el camp dels sistemes dinàmics.

La Real Societat Espanyola de Matemàtiques va expondre este document explicant el setzé problema de Hilbert.

La primera part del problema setzé de Hilbert

En 1876 Harnack va investigar les curves algebraiques en el pla proyectivo real i va trobar que les curves de grau n no podien tindre més de

$\frac{n^2-3n+4}{2}$

components conectats separats entre sí. Ademés, va mostrar cóm construir curves que alcançaven eixe llímit superior i, per lo tant, era el millor llímit possible. Les curves en eixe número de components es denominen curves M.

Hilbert havia investigat les curves M de grau 6 i va trobar que els 11 components sempre estaven agrupats de certa manera. El seu desafiu per a la comunitat matemàtica ara era investigar completament les possibles configuracions dels components de les curves M.

Ademés, va solicitar una generalisació del teorema de la curva de Harnack a les superfícies algebraiques i una investigació similar de superfícies en el número màxim de components.

La segona part del problema setzé de Hilbert

Ací es van a considerar camps de vectores polinòmics en el pla real, que és un sistema d'equacions diferencials de la forma:

$\frac{dx}{dt}=P(x,y),\frac{dy}{dt}=Q(x,y)$

a on tant P com a Q són polinomis reals de grau n.

Estos camps de vectores polinòmics varen ser estudiats per Poincaré, qui va tindre l'idea d'abandonar la busca de trobar solucions exactes al sistema, i en el seu lloc va intentar estudiar les característiques qualitatives de la colecció de totes les solucions possibles.

Entre molts descobriments importants, va trobar que els conjunts de llímits de tals solucions no necessiten ser un punt estacionario, sino que podrien ser una solució periòdica. Estes solucions es denominen cicle llímit.

La segona part del problema setzé de Hilbert és decidir un llímit superior per al número de cicles llímit en camps vectorials polinòmics de grau n i, similar a la primera part, investigar les seues posicions relatives.

Resultats

Yulii Ilyashenko i Jean Écalle varen demostrar en 1991/1992 que cada camp vectorial polinòmic en el pla té solament un número finito de cicles llímit (un artícul de 1923 d'Henri Dulac que afirmava ser una prova d'esta afirmació, es va comprovar que contenia un estany en 1981). Esta afirmació no és òbvia, ya que és fàcil construir camps vectorials suaus (C^∞) en el pla en infinits cicles llímit concèntrics.

La qüestió de si existix un llímit superior finito H(n) per al número de cicles llímit de camps vectorials polinòmics plans de grau n permaneix sense resoldre per a qualsevol n > 1. (H(1) = 0 ya que els camps vectorials llineals no tenen cicles llímit). Yevgueni Landis i Iván Petrovsky varen reclamar una solució en la década de 1950, pero es va demostrar que era incorrecta a principis de la década de 1960. Es coneixen camps vectorials plans quadràtics en quatre cicles llímit. Un eixemple de visualisació numèrica de quatre cicles llímit en un camp vectorial pla quadràtic es pot trobar en una publicació de N.V. Kuznetsov. En general, les dificultats per a estimar el número de cicles llímit per integració numèrica es deuen als cicles llímit anidados en regions d'atracció molt estretes, que són atractores amagats, i cicles llímit semiestables.