Sèptim problema de Hilbert

El sèptim problema de Hilbert (un dels coneguts com vintitrés Problemes de Hilbert, publicats en 1900 pel matemàtic alemà David Hilbert), es referix a l'irracionalitat i a la transcendència de certs números (en alemà, Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen).

Declaració del problema

Es fan dos preguntes específiques equivalents:

1. En un triàngul isósceles, si la raó entre l'àngul de la base i l'àngul del vèrtiç és algebraica pero no racional, ¿Llavors la raó entre la base i el costat és sempre transcendent?
2. ¿$a^b$ és sempre un número trascendente, per a qualsevol número algebraico $a\in ̸\{0,1\}$ i per a qualsevol número irracional algebraic $b$?

Solució

La pregunta (en la segona forma) va ser resposta afirmativamente per Aleksandr Guélfond en 1934 i refinada per Theodor Schneider en 1935. Este resultat es coneix com a teorema de Gelfond o teorema de Gelfond-Schneider. La restricció a que b siga irracional és important, ya que és fàcil vore que $a^b$ és algebraic per a la a sent un número algebraico i b racional).

Des del punt de vista de les generalisacions, est és el cas

$b\ln \alpha +\ln \beta =0$

de la forma llineal en logaritmos general, que va ser estudiada per Gelfond i després resolta per Alan Baker. Es diu la conjectura de Gelfond o teorema de Baker. Baker va rebre un Medalla Fields en 1970 per este guany.

Vore també

• Número de Hilbert o constant de Gelfond–Schneider

Bibliografia

• Tijdeman, Robert (1976). «On the Gel'fond–Baker method and its applications», Felix E. Browder (ed.). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems (vol. XXVIII.1), American Mathematical Society, pp. 241–268. ISBN 978-0-8218-1428-4.
• (2007) Introduction to Modern Number Theory, Second edició (vol. 49), p. 61. ISBN 978-3-540-20364-3.