Anar al contingut

Conjectura de Goldbach

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Conjectura de Goldbach
El número de les diferents maneres en les que es pot expressar un número par n com la suma de dos número primo (4 ≤ n ≤ 200.000)

En teoria de números, la conjectura de Goldbach és un dels problemes oberts més antics en matemàtiques. Concretament, G.H. Hardy, en 1921, en el seu famós discurs pronunciat en la Societat Matemàtica de Copenhague, va comentar que provablement la conjectura de Goldbach no és solament un dels problemes no resolts més difícils de la teoria de números, sino de totes les matemàtiques. El seu enunciat és el següent:


Tot número par major que 2 pot escriure's com sumixca de dos número primo.


Història

[editar | editar còdic]
Carta de Christian Goldbach a Leonhard Euler[1]

Orígens

[editar | editar còdic]

El 7 de juny de 1742, el matemàtic prusiano Christian Goldbach va escriure una carta a Leonhard Euler (carta XLIII),[2] en la que va propondre la següent conjectura:

Tot número entero que es puga escriure com la suma de dos número primo també es pot escriure com la suma de tants número primo (inclosa l'unitat) com es desige, fins que tots els térmens siguen unitats.[3]

Goldbach seguia la convenció, ara abandonada, de considerar l'1 com un número primo,[4] de modo que una suma d'unitats seria una suma d'número primo. També va propondre una segona conjectura al marge de la seua carta, que implica la primera:[5]

Sembla ser, a lo manco, que tot número entero major que 2 pot escriure's com la suma de tres número primo.[6]

Euler va respondre en una carta datada el 30 de juny de 1742[7] i li va recordar a Goldbach una conversació anterior que havien tingut ("... baix Ew. vormals mit mir communicirt haben ..."), en la que Goldbach havia comentat que la primera d'eixes dos conjectura es derivaria de l'afirmació:


Conjectura:


Tot número par positiu es pot escriure com la suma de dos número primo.


Açò és, de fet, equivalent a la seua segona conjectura inclosa en el marge del document. En la carta datada el 30 de juny de 1742, Euler va afirmar:

Que tot número par és suma de dos número primo, ho considere una teorema completament certa, encara que no puc demostrar-ho.[8]

Conjectura dèbil de Descartes

[editar | editar còdic]

René Descartes va escriure: "Tot número par pot expressar-se com la suma de, com a màxim, tres número primo".[9] Esta proposició és similar a la conjectura de Goldbach, pero més dèbil. Paul Erdős va dir: "Descartes va descobrir açò abans que Goldbach... pero és millor que la conjectura duga el nom de Goldbach perque, matemàticament parlant, Descartes era infinitament ric i Goldbach molt pobre".[10]

Resultats parcials

[editar | editar còdic]

Comprovar la conjectura de Goldbach que involucra la suma de dos cosins és molt més difícil que fer-ho en la conjectura dèbil de Goldbach, que diu que tot sancer impar major que 5 és la suma de tres cosins. Usant el método de Vinográdov, Nikolái Chudakov,[11] Johannes van der Corput,[12] i Theodor Estermann[13] varen demostrar (1937-1938) que casi tots els número par es poden escriure com la suma de dos cosins (en el sentit de que la fracció d'número par fins a algun N que es poden escriure d'eixa manera tendix a 1 a mida que N aumenta). En 1930, Lev Schnirelmann va demostrar que qualsevol número natural major que 1 pot escriure's com la suma de no més de C número primo, a on C és una constant efectivament computable; vore densitat de Schnirelmann.[14][15] La constant de Schnirelmann és el número més baix C en esta propietat. El propi Schnirelmann va obtindre C < 800 000. Este resultat va ser posteriorment millorat per molts autors, com Olivier Ramaré, qui en 1995 va demostrar que tot número par n ≥ 4 és de fet la suma de com a màxim 6 cosins. El resultat més conegut prové de la demostració de la conjectura dèbil de Goldbach per Harald Helfgott,[16] que implica directament que tot número par n ≥ 4 és la suma de com a màxim 4 cosins.[17][18]


En 1924, Hardy i Littlewood varen demostrar[19] baixe el supòsit de la hipòtesis generalisada de Riemann que la cantitat d'número par fins a X que violen la conjectura de Goldbach és molt menor que XPlantilla:1/2 + c per a c menuts.[20]

En 1948, utilisant métodos de la teoria de garbells, Alfréd Rényi va demostrar que tot número par suficientment gran pot escriure's com la suma d'un primer i un número casi primer en com a màxim K factors.[21] Chen Jingrun va demostrar en 1973, utilisant la teoria del garbell, que tot número par suficientment gran pot escriure's com la suma de dos cosins, o com un primer i un número semiprimo (el producte de dos cosins).[22] Vore el teorema de Chen para més informació.

En 1951, Yuri Linnik va demostrar l'existència d'una constant K tal que tot número par suficientment gran és la suma de dos número primo i com a màxim K potencies de 2. En 2020, János Pintz i Imre Ruzsa varen descobrir que K= 8 complix esta condició.[23] Suponent la validea de la hipòtesis generalisada de Riemann, K= 7 també complix, com varen demostrar Roger Heath-Brown i Jan-Christoph Schlage-Puchta en 2002.[24]

En 1975, Hugh Lowell Montgomery i Bob Vaughan varen demostrar que la majoria dels número par poden expressar-se com la suma de dos número primo. Més precisament, varen demostrar l'existència de constants positives c i C tals que, per a tot número suficientment gran N, tot número par menor que N és la suma de dos número primo, en com a màxim CN1 − c excepcions. En particular, el conjunt de sancers parells que no són la suma de dos número primo té densitat zero.


En 2013, el matemàtic peruà Harald Helfgott va presentar una demostració de la conjectura dèbil per a la série de llibres Annals of Mathematics Studies. L'artícul va ser acceptat, pero Helfgott va decidir realisar modificacions importants sugerides pel revisor.[25][26][27][28][29]

La conjectura dèbil es deduïx de la conjectura de Goldbach, ya que si n − 3 és la suma de dos cosins, llavors n és la suma de tres cosins. No obstant, l'implicació recíproca i, per lo tant, la conjectura de Goldbach, permaneixen sense demostrar, inclús si la demostració de Helfgott és correcta.

En 2022 una relació entre la conjectura de Goldbach i la conjectura de Polignac (que inclou com a cas particular la conjectura dels primers bessons) va ser descoberta pel matemàtic espanyol José Alfonso López Nicolás.[30]

Resultats computacionals

[editar | editar còdic]

Per a valors menuts de n, la conjectura de Goldbach (i, per lo tant, la conjectura dèbil de Goldbach) pot verificar-se directament. Per eixemple, en 1938, Nils Pipping va verificar laboriosament la conjectura fins a n = 100 000.[31] En l'arribada de les computadores, s'han comprovat molts més valors de n; T. Oliveira i Silva va realisar una busca computacional distribuïda que va verificar la conjectura per a n ≤ 4i18 (i la va tornar a comprovar fins a 4i17) en 2013. Una senya d'esta busca és que 3 325 581 707 333 960 700 és el número més chicotet que no pot escriure's com sumixca de dos número primo a on un és menor que 9781.[32]

Enunciat formal

[editar | editar còdic]

Cada una de les tres conjectura té un anàlec natural en térmens de la definició moderna de primer, segons la qual l'1 queda exclós. Una versió moderna de la primera conjectura és:

Tot número entero que es puga escriure com la suma de dos número primo també es pot escriure com la suma de tants número primo com es desige, fins que tots els térmens siguen dos (si l'número entero és parell) o un terme siga tres i tots els demés térmens siguen dos (si l'número entero és impar).

Una versió moderna de la conjectura plantejada en el marge del document original és:


Tot número entero major que 5 es pot escriure com la suma de tres número primo.

I una versió moderna de l'antiga conjectura de Goldbach, que Euler li va recordar, és:

Tot número par major que 2 es pot escriure com la suma de dos número primo.

Estes versions modernes podrien no ser completament equivalents als enunciats originals corresponents. Per eixemple, si existira un sancer parell N = p + 1 major que 4, sent p un cosí, que no poguera expressar-se com la suma de dos cosins en el sentit modern, llavors seria un contraeixemple a la versió moderna de la tercera conjectura (sense ser un contraeixemple a la versió original). Per lo tant, la versió moderna és provablement més forta (pero per a confirmar-ho, caldria demostrar que la primera versió, aplicada lliurement a qualsevol sancer parell positiu n, no podria descartar l'existència d'un contraeixemple específic com N). En qualsevol cas, les afirmacions modernes guarden la mateixa relació entre sí que les antigues. És dir, la segona i la tercera afirmació moderna són equivalents, i qualsevol d'elles implica la primera.

La tercera afirmació moderna (equivalent a la segona) és la forma en que la conjectura se sol expressar hui en dia. També li la coneix com la conjectura de Goldbach "fort", "parell" o "binaria". Una forma més dèbil de la segona afirmació moderna, coneguda com "conjectura dèbil de Goldbach", la "conjectura de Goldbach impar" o la "conjectura de Goldbach ternaria", afirma que:

Tot número entero impar major que 7 es pot escriure com la suma de tres número primo impars.

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ 1,0 1,1 Goldbach, Christian (1843). «Lettre XLIII», Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (vol. 1) (en de), St. Petersburg: Imperial Academy of Sciences, pp. 125–129.
  2. ↑ Tens que especificar urlarchiu = i fechaarchiu = al usar {{cita web}}.«Letter XLIII, Goldbach to Euler». Correspondence of Leonhard Euler. Mathematical Association of America. Archivat des d'el original, el 20 de giner de 2025. Consultat el 19 de giner de 2025.
  3. ↑ En alemà... dass jede Zahl, welche aus zweyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum baix vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatum
  4. ↑ Goldbach Conjecture en MathWorld.
  5. ↑ En la versió impresa publicada per P. H. Fuss[1] en la conjectura que figura al marge, el número 2 apareix imprés erròneament com 1.
  6. ↑ En alemà, És scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.
  7. ↑ Tens que especificar urlarchiu = i fechaarchiu = al usar {{cita web}}.«Letter XLIV, Euler to Goldbach». Correspondence of Leonhard Euler. Mathematical Association of America. Archivat des d'el original, el 17 de setembre de 2024. Consultat el 19 de giner de 2025.
  8. ↑ En alemà: Dass ... ein jeder numerus parell eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.
  9. ↑ Pintz, János. "On a conjecture of Descartes". ELKH Rényi Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences. Consultat el 20 juny de 2025.
  10. ↑ Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers, United States: Hyperion Books, p. 36. ISBN 978-0786863624.
  11. ↑ Chudakov, Nikolai G.. “{{{title}}}” [On the Goldbach problem]. Doklady Akademii Nauk SSSR 17: 335–338.
  12. ↑ Van der Corput, J. G.. “Sur l'hypothèse de Goldbach” (fr). Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Amsterdam 41: 76–80.
  13. ↑ Estermann, T.. “On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers llaure sums of two primes”. Proceedings of the London Mathematical Society 44: 307–314. doi:10.1112/plms/s2-44.4.307.
  14. ↑ Schnirelmann, L. G. (1930). 'On the additive properties of numbers". Publicat per primera volta en Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk (en rus), vol 14 (1930), pp. 3–27, i reimpreso en Uspekhi Matematicheskikh Nauk (en rus), 1939, no. 6, 9–25.
  15. ↑ Schnirelmann, L. G. (1933). Publicat per primera volta com "Über additive Eigenschaften von Zahlen"
  16. ↑ Plantilla:Cite arXiv
  17. ↑ Sinisalo, Matti K.. “Checking the Goldbach Conjecture up to 4 ⋅ 1011” 61 (204): 931–934. American Mathematical Society. doi:10.2307/2153264.
  18. ↑ Rassias, M. Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics, Springer.
  19. ↑ “Some Problems of "Partitio Numerorum"(V): A Further Contribution to the Study of Goldbach's Problem” . Proceedings of the London Mathematical Society s2-22 (1): 46–56. doi:10.1112/plms/s2-22.1.46.
  20. ↑ Plantilla:Cite arXiv
  21. ↑ Rényi, A. A.. “On the representation of an even number as the sum of a prime and an almost prime” (ru). Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 12: 57–78.
  22. ↑ Chen, J. R.. “On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes”. Scientia Sinica 16: 157–176.
  23. ↑ “On Linnik's approximation to Goldbach's problem. II” (en) . Acta Mathematica Hungarica 161 (2): 569–582. doi:10.1007/s10474-020-01077-8. ISSN 1588-2632.
  24. ↑ “Integers represented as a sum of primes and powers of two” . Asian Journal of Mathematics 6 (3): 535–565. doi:10.4310/AJM.2002.v6.n3.a7. Bibcode: 2002math......1299H.
  25. ↑ Plantilla:Cite arXiv
  26. ↑ Plantilla:Cite arXiv
  27. ↑ Tens que especificar urlarchiu = i fechaarchiu = al usar {{cita web}}.«Harald Andrés Helfgott». Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche. Archivat des d'el original, el 14 d'abril de 2021. Consultat el 6 d'abril de 2021.
  28. ↑ Plantilla:Cite arXiv
  29. ↑ http://actualidad.rt.com/ciencias/view/95102-cientifico-demostrar-problema-matematico
  30. ↑ Boletim dona Sociedade Paranaense de Matemàtica.41
    1–20.ISSN 2175-1188.doi:10.5269/bspm.51233.Consultat el 2026-01-04.
  31. ↑ Pipping, Nils (1890–1982). "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradowsche Satz". Acta Academiae Aboensis, Mathematica et physica 11, 4–25, 1938.
  32. ↑ “Empirical Verification of the Even Goldbach Conjecture and Computation of up to 4 · 1018” . Mathematics of Computation 83 (288): 2033–2068. American Mathematical Society.


Referències

[editar | editar còdic]


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Conjectura_de_Goldbach&oldid=808514»