Quint problema de Hilbert

El quint problema de Hilbert (un dels coneguts com vintitrés Problemes de Hilbert, publicats en 1900 pel matemàtic alemà David Hilbert), es referix a la caracterisació de Grup de Lie.

La teoria dels grups de Lie descriu la simetria contínua en matemàtiques; la seua importància en este camp i en física teòrica (per eixemple, en l'investigació sobre quarks) va créixer de manera constant en el XX. En térmens generals, la teoria de grups de Lie és el terreny comú de la teoria de grups i la teoria de varietats topològiques. La pregunta que va fer Hilbert es va centrar en precisió en la qüestió següent:

¿Hi ha alguna diferència si s'impon una restricció a les varietats diferenciables?

La resposta esperada va ser negativa (els grups clàssics, els eixemples més centrals en la teoria de grups de Lie, són varietats suaus). Açò finalment es va confirmar a principis de la década de 1950. Ya que Hilbert no disponia de la noció precisa de "varietat", hi ha lloc per a cert debat sobre la formulació del problema en el llenguage matemàtic contemporàneu.

Formulació clàssica

Una formulació que va ser acceptada durant un llarc periodo va ser que la qüestió era caracterisar als grups de Lie com els grups topològics que també eren varietats topològiques. En térmens més propencs als que Hilbert hauria usat, prop del element neutre i del grup G en qüestió, hi ha un conjunt obert O en l'espai euclídeo que conté i, i en algun subconjunt obert V de O hi ha una funció contínua:

F : V × V → O

que satisfaça el grup a on es definixen. Açò és un fragment d'un grup topològic localment euclídeo típic. El problema és llavors demostrar que F és una funció infinitament diferenciable prop de i (ya que els grups topològics són espais homogéneus, iguals en tots els llocs com prop de i).

Una atra forma de dir-ho és que la possible funció infinitament diferenciable de F no importa: els axioma de grup colapsen tota la gama C^k.

Solució

El primer resultat important va ser el de John von Neumann en 1933, para grups compactes. El cas del grup abeliano localment compacte va ser resolt en 1934 per Lev Pontriaguin. La resolució final, a lo manco en esta interpretació de lo que Hilbert volia dir, va aplegar en el treball d'Andrew Gleason, Deane Montgomery i Leo Zippin en la década de 1950.

En 1953, Hidehiko Yamabe va obtindre la resposta final al quint problema de Hilbert:

Si un grup compacte conectat localment G és un llímit invers d'una seqüència de grups de Lie, i si G "no té subgrups menuts" (una condició definida a continuació), llavors G és un grup de Lie.

No obstant, la qüestió encara es debat, ya que en la lliteratura hi ha hagut atres afirmacions similars, basades en gran part en diferents interpretacions de l'afirmació de Hilbert del problema donada per varis investigadors.

De manera més general, tot grup localment compacte i casi conectat és el llímit proyectivo d'un grup de Lie. Si es considera un grup general localment compacte G i el component conectat de l'identitat G₀, es té una extensió de grup

G₀ → G → G/G₀.

Com a grup totalment desconectat, G/G₀ té un subgrup compacte obert, i la reculada G′ de tal subgrup compacte obert és un subgrup obert, casi conectat, de G. D'esta manera, es té una estructura suau en G, ya que és homeomorfa a (G′ × G′ )/G₀, a on G′/G₀ és un conjunt discret.

Vore també

• Hans Rådström

Bibliografia

• D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups
• Yamabe, Hidehiko, On an arcwise connected subgroup of a Lie group, Osaka Mathematical Journal v.2, no. 1 Mar. (1950),  13–14.
• Irving Kaplansky, Lie Algebras and Locally Compact Groups, Chicago Lectures in Mathematics, 1971.
• Benyamini, Yoav and Lindenstrauss, Joram, Geometric nonlinear functional analysis Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.
• Enflo, Per. (1970) Investigations on Hilbert’s fifth problem for senar locally compact groups. (Tesis doctoral de cinc artículs d'Enflo de 1969 a 1970)
  • Enflo, Per; 1969a: Topological groups in which multiplication on one side is differentiable or linear. Math. Scand., 24,  195–197.
  • Enflo, Per; 1969b: On a problem of Smirnov. Ark. Math. 8,  107–109.
  • “Uniform structures and square roots in topological groups” (1970). Israel Journal of Mathematics 8 (3): 230–252 (s2cid: 189773170). doi:10.1007/BF02771560.
  • “Uniform structures and square roots in topological groups” (1970). Israel Journal of Mathematics 8 (3): 253–272 (s2cid: 121193430). doi:10.1007/BF02771561.

Plantilla:Problemes de Hilbert