Varietat topològica

En matemàtiques, una varietat topològica és un espai topològic que localment tindrà l'estructura topològica de ${ℝ}^n$, en un sentit precisat més avall. D'esta manera una varietat heretarà moltes de les propietats locals del espai euclídeo, pero no les globals. Serà necessari afegir condicions globals a la definició per a evitar l'aparició d'eixemples considerats patològics.

Aixina, si només exigim la condició de ser localment euclídeo, apareixeran espais no Hausdorff o eixemples d'espais que no verifiquen el segon axioma de numerabilidad i no són metrisables (com la llínea llarga o la superfície de Prüfer). Per a evitar tot açò, solen incloure's dos condicions més en la definició de varietat topològica.

Definició formal

Una varietat topològica de dimensió n és un espai topològic $ℳ$ que deu complir:

1. Ser localment euclídeo (i.i. per a cada punt $x\in ℳ$ existix un obert O, entorn de x, homeomorfo per mig de $\varphi :U\to V$ a un obert V de ${ℝ}^n$).
2. Ser Hausdorff ($T_2$).
3. Verificar el segon axioma de numerabilidad (ANII).

Observacions sobre la definició:

• Com hem mencionat abans, la condició 2) és necessària, puix 1) no implica 2). Encara que en alguns casos apareixen varietats no Hausdorff (espais totals d'un fes), usualment els autors assumixen la condició 2).

• Hi ha autors que no inclouen la condició 3), en eixe cas es perden algunes propietats desijables, com ser metrisable, puix per a un espai que verifique solament 1) i 2) són equivalents:
  • Cada component de $ℳ$ és ANII.
  • $ℳ$ és metrisable.
  • $ℳ$ és paracompacto.

• Una teorema de Whitney nos diu que en cas d'incloure 2) i 3) en la definició de varietat, llavors la nostra idea de varietat topològica coincidirà en la de subvariedad d'algun ${ℝ}^d$.

Cartes i funcions de transició

La condició de ser localment euclídeo garantisa que per a cada punt de la varietat existix un obert O que ho conté i un homeomorfisme $\varphi :U\to V\subset {ℝ}^n$ en un obert de Rⁿ. Del parell (O, $\varphi$) diem que és una carta de M. Dita carta nos permetrà assignar coordenades als punts de la varietat continguts en l'obert O.

En cas de poder assignar coordenades per mig de dos cartes (O₁, $\varphi$ ₁) i (O₂,$\varphi$ ₂) que es solapen, és natural plantejar-se el canvi d'un sistema de coordenades a un atre per als punts de $U_1\cap U_2$. Este canvi es realisa per mig de l'homeomorfisme

${\varphi }_2\circ {\varphi }_1^{-1}:{\varphi }_1(U_1\cap U_2)\to {\varphi }_2(U_1\cap U_2)$

De dit homeomorfisme diem que és una funció de transició, canvi de cartes o canvi de coordenades de M.

Es definixen noves varietats en exigir que el canvi de cartes verifique certes propietats. Aixina, si demanem que el canvi de cartes siga diferenciable (resp. holomorfo) obtindrem les varietats diferenciables (resp. complexes).

Referències

• Llig, John, Introduction to Topological Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 202, Springer, New York, 2000, ISBN 0-387-98759-2

• Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry, volume I, Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, ISBN 0-914098-87-X. (apèndix A)