Varietat complexa

En geometria diferencial, una varietat complexa M és una varietat topològica que té l'estructura que nos permet definir la noció de funció holomorfa $f:M\to ℂ$.

Això es podrà conseguir per dos camins:

1. Exigint que existixca un atles (o conjunt de cartes) que recobrixca la varietat de modo que les funciones de transició (o canvis de cartes) siguen holomorfas.
2. O, d'un modo menys directe, exigint l'existència sobre la varietat diferenciable subjacent d'una estructura casi complexa J (endomorfisme que verifica $J^2=-Id$) i una condició de integrabilidad.

Tota varietat complexa de dimensió complexa n serà, en particular, també una varietat diferenciable de dimensió real 2n, orientable, i dotada d'una orientació natural.

ya que les funcions holomorfas són molt més rígides que les funcions diferenciables, la teoria de varietats complexes presenta importants diferències en la de varietats diferenciables.

Eixemples

• Les superfícies de Riemann són varietats complexes de dimensió complexa 1. La teorema de uniformización demostra que tota superfície de Riemann simplement conexa és biholomorfa al disc unitat del pla complex, a tot el pla complex o a l'esfera de Riemann. Els tres eixemples citats constituïxen varietats complexes no equivalents.

• La bola oberta de ràdio un, $\{z\in {ℂ}^n\mid \Vert z\Vert <1\}$, el polidisco (producte cartesiano de discs), $\{z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n\mid |z_i|<1,\text{ for all }i=1,\dots ,n\}$ i l'espai complex ${ℂ}^n$ són varietats complexes no biholomorfas.

• Els bous complexos. Daus $\{v_1,\dots v_n\}$, una base de ${ℂ}^n$ i $D=\{\sum m_i{v}_i:m_i\in \mathbb{Z}\}$, subgrup del grup de translacions, al cocient ${ℂ}^n/D$ se li denomina bou complex. En contrast en els bous reals, dos bous complexos de la mateixa dimensió poden no ser biholomorfos.

• Numerosos grups de Lie són al mateix temps varietats complexes. En cas que les operacions de grup (producte i invers) siguen holomorfos direm que el grup és un grup de Lie complex. Tal és el cas de GL(n,C) o de Sp(n,C).
• Espais proyectivos complexos.
• Grassmanianas complexes.
• Varietats de banderes complexes.

El camí de les funcions de transició holomorfas

En tota carta d'una varietat diferenciable de dimensió real 2n, en coordenades reals $\{x^1,\dots ,x^n,y^1,\dots ,y^n\}$ podem formar combinacions de variables complexes $\{z^1=x^1+i{y}^1,\dots ,z^n=x^n+i{y}^n\}$. Pero en açò no bastarà per a dispondre d'una carta que forme part del nostre atles complex. Per a retindre esta carta en el nostre atles serà necessari verificar si el canvi en el restant de cartes ${\Phi }_j\circ {\Phi }_i^{-1}$ és holomorfo.

Recordant la teoria de variable complexa, açò pot verificar de vàries formes:

• Usant les coordenades reals, i descomponent ${\Phi }_j\circ {\Phi }_i^{-1}=u+iv$ en la seua part real i imaginària. N'hi ha prou en exigir que estes últimes verifiquen les equacions de Cauchy-Riemann:

$\frac{\partial u}{\partial x^k}=\frac{\partial v}{\partial y^k}\frac{\partial v}{\partial y^k}=-\frac{\partial v}{\partial x^k}$

• O usant coordenades complexes $z^1,\dots ,z^n$ i les seues conjugades ${\overline{z}}^1,\dots ,{\overline{z}}^n$, observant que l'expressió de $({\Phi }_j\circ {\Phi }_i^{-1})(z^1,\dots ,z^n,{\overline{z}}^1,\dots ,{\overline{z}}^n)$ verifique $\frac{\partial ({\Phi }_j\circ {\Phi }_i^{-1})}{\partial {\overline{z}}^k}=0$, sent independent, per tant, de totes les ${\overline{z}}^k$.

Bibliografia

• Kobayashi,S. , Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry', Interscience Publishers (1969). ISBN 0-470-49648-7. Capítul IX sobre varietats complexes.
• Wells, R.O., Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer-Verlag, New York (1980). ISBN 0-387-90419-0. Secció breu que introduïx el material estàndar bàsic.