Sistema binario

Per a atres usos d'este terme vore Sistema binario (astronomia).

Manuscrit de Gottfried Leibniz representant la numeració binaria.

El sistema binario, també cridat sistema diàdic^[1] en ciències de la computació, és un sistema de numeració en el que els números són representats utilisant únicament dos sifres: 0 (zero) i 1 (u).^[2] ^[3]És un dels sistemes que s'utilisen en les computadoras, degut a que estes treballen internament en dos nivells de voltage (0 apagat, 1 encés), per la qual cosa el seu sistema de numeració natural és el sistema binario.^[4]^[5]

Història del sistema binario

Archiu:Leibniz binary system 1703.png

Pàgina de l'artícul Explication de l'Arithmétique Binaire de Leibniz.

El sistema numèric binario modern va ser estudiat en Europa en els sigles XVI i XVII per Thomas Harriot, Juan Caramuel Lobkowitz i Gottfried Leibniz. No obstant, els sistemes relacionats en número binario han aparegut abans en múltiples cultures, inclós l'antic Egipte, China i Índia. Leibniz es va inspirar específicament en l'I Ching chinenc.

Egipte

Archiu:Eye of Horus (fractions).svg

Valors aritmètics que es creu que han segut representats per parts de l'Ull d'Horus

Els escrigues de l'antic Egipte usaven dos sistemes diferents per als seus fracciónes, les fraccions egipcíaques (no relacionades en el sistema numèric binario) i les fraccions de l'Ull d'Horus (cridades aixina perque molts historiadors de les matemàtiques creuen que els símbols usats per a este sistema podrien organisar-se per a formar l'ull d'Horus, encara que açò ha segut discutit). Les fraccions de l'Ull d'Horus són un sistema de numeració binaria per a cantitats fraccionarias de grans, líquits o atres mides, en el que una fracció de hekat s'expressa com una suma de les fraccions binarias 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 i 1/64. Les primeres formes d'este sistema es poden trobar en documents de la Quinta Dinastia d'Egipte, aproximadament en el 2400 a. C., i la seua forma jeroglífica completament desenrollada data de la Denovena Dinastia d'Egipte, aproximadament en el 1200 a. C.^[6]

China

Archiu:Bagua-name-earlier.svg

Trigrama taoísta

En l'antiga China, en el text clàssic del I Ching, es descriu una série completa de 8 trigramas i 64 hexagramas (anàlecs a 3 bits) i número binario de 6 bits.^[7]

L'erudit i filòsof chinenc Shao Yong en el XI va desenrollar un apany binario ordenat dels hexagramas de l'I Ching, representant la seqüència decimal de 0 a 63, i un método per a generar-ho.^[8]

Índia

L'antic matemàtic indi Acharya Pingala va desenrollar un sistema binario per a descriure la prosòdia. Va utilisar número binario en forma de sílabes curtes i llargues (estes últimes iguals en llongitut a dos sílabes curtes), fent-ho similar al còdic Morse. Eren conegudes com a sílabes laghu (llaugeres) i guru (pesades).^[9]

Atres cultures

Els residents de l'illa de Mangareva en la Polinèsia Francesa usaven un sistema híbrit binario-decimal abans de 1450.^[10] També han segut utilisades séries similars de combinacions binarias en sistemes de adivinación tradicionals africans, com l'Ifá, aixina com en la geomancia medieval occidental.^[11]

Predecessors occidentals de Leibniz

En 1605 Francis Bacon va parlar d'un sistema pel qual les lletres de l'alfabet podrien reduir-se a seqüències de dígits binarios, les quals podrien ser codificades com a variacions a penes visibles en la font de qualsevol text arbitrari.

En 1670 Juan Caramuel publica el seu llibre Mathesis Biceps; i en les pàgines XLV a XLVIII dona una descripció del sistema binario.

Leibniz i l'I Ching

El sistema binario modern va ser documentat en la seua totalitat per Gottfried Leibniz, en el XVIII, en el seu artícul "Explication de l'Arithmétique Binaire". En ell es mencionen els símbols binarios usats per matemàtics chinencs. Leibniz va utilisar un sistema matemàtic de dos variables - 0/1 - per a transformar térmens llingüístics i, d'esta manera, distribuir informació, de la mateixa manera que el sistema binario actual.^[12]

Desenrolls posteriors

En 1854, el matemàtic britànic George Boole va publicar un artícul que va marcar un abans i un despuix, detallant un sistema de llògica que terminaria denominant-se Àlgebra de Boole. Dit sistema eixercitaria un paper fonamental en el desenroll del sistema binario actual, particularment en el desenroll de circuits electrònics.

Aplicacions

En 1937, Claude Shannon va realisar la seua tesis doctoral en el MIT, en la qual implantava l'Àlgebra de Boole i l'aritmètica binaria utilisant relés i commutadors per primera volta en l'història. Titulada Un Anàlisis Simbòlic de Circuits Commutadors i Relés, la tesis de Shannon bàsicament va fundar el disseny pràctic de circuits digitals.

En novembre de 1937, George Stibitz, treballant llavors en els Laboratoris Bell, va construir una calculadora basada en relés —a la qual va malnomenar "Modele K" (perque la va construir en una cuina, en anglés "kitchen")— que utilisava la suma binaria per a realisar els càlculs. Els Laboratoris Bell varen autorisar un complet programa d'investigació a finals de 1939, en Stibitz al mando.

El 8 de giner de 1940 varen terminar el disseny d'una "Calculadora d'Número complejo", la qual era capaç de realisar càlculs en número complejo. En una demostració en la conferència de la Societat Nortamericana de Matemàtica, l'11 de setembre de 1940, Stibitz va conseguir enviar comandos de manera remota a la Calculadora d'Número complejo a través de la llínea telefònica per mig d'un teletipo. Va ser la primera màquina computadora utilisada de manera remota a través de la llínea de teléfon. Alguns participants de la conferència que varen presenciar la demostració varen ser John von Neumann, John Mauchly i Norbert Wiener, qui va escriure sobre dit succés en els seus diferents tipos de memòries en la qual va alcançar diferents guanys.

Vore també: Còdic binario

Representació

En el sistema binario solament es necessiten dos sifres.

En informàtica, un número binario pot ser representat per qualsevol seqüència de bits (dígits binarios), que solen representar qualsevol mecanisme capaç d'usar dos estats mútuament excloents. Les següents seqüències de símbols podrien ser interpretades com el mateix valor numèric binario:

1	0	1	0	0	1	1	0	1	1
¦	−	¦	−	−	¦	¦	−	¦	¦
x	o	x	o	o	x	x	o	x	x
i	n	i	n	n	i	i	n	i	i

El valor numèric representat en cada cas depén del valor assignat a cada símbol. En una computadora, els valors numèrics poden representar dos voltages diferents; també poden indicar polaridades magnètiques sobre un disc magnètic. Un "positiu", "sí", o "sobre l'estat" no és necessàriament l'equivalent al valor numèric d'un; açò depén de la nomenclatura usada.

D'acort en la representació més habitual, que és usant números aràbics, els número binario comunament són escrits usant els símbols 0 i 1. Els número binario s'escriuen a sovint en subíndexs, prefixos o sufixos per a indicar la seua base. Les notacions següents són equivalents:

100101 binario (declaració explícita de format)
100101b (un sufix que indica format binario)
100101B (un sufix que indica format binario)
bin 100101 (un prefix que indica format binario)
100101₂ (un subíndex que indica format en base 2 o binario)
%100101 (un prefix que indica format binario)
0b100101 (un prefix que indica format binario, comú en llenguages de programació)

Conversió entre binario i decimal

Decimal a binario

Es dividix el número del sistema decimal entre 2, el resultat sancer del qual es torna a dividir entre 2, i aixina successivament fins que el divident siga menor que el divisor, 2. És dir, quan el número a dividir siga 1 finalisa la divisió.
A continuació s'ordena des de l'últim cocient fins al primer restant, simplement es coloquen en orde invers a com apareixen en la divisió. Est serà l'número binario que busquem.

Eixemple: Transformar el número decimal 131 en binario. El método és molt simple:

131 dividit entre 2 dona 65 en residu igual a
 1 65 dividit entre 2 dona 32 en residu igual a
 1 32 dividit entre 2 dona 16 en residu igual a
 0 16 dividit entre 2 dona 8 en residu igual a
  0 8 dividit entre 2 dona 4 en residu igual a
  0 4 dividit entre 2 dona 2 en residu igual a
  0 2 dividit entre 2 dona 1 en residu igual a
                          0 l'últim cocient és 1

-> Ordenem els residus, de l'últim al primer: 10000011

En sistema binario, 131 s'escriu 10000011.

Eixemple: Transformar l'número decimal 100 en binario.

Archiu:Conversion.JPG

Una atra forma de conversió consistix en un método semblat a la factorización en número primo. És relativament fàcil dividir qualsevol número entre 2. Este método consistix també en divisions successives. Depenent de si el número és parell o impar, colocarem un zero o un un en la columna de la dreta. Si és impar, li restarem un i seguirem dividint entre dos, fins que ya no siga possible i es coloca el número 1. Despuix solament nos queda prendre l'últim resultat de la columna esquerra i tots els de la columna de la dreta i ordenar els dígits d'avall dalt.

Eixemple

100|0
 50|0
 25|1   --> 1, 25-1=24 i seguim dividint entre 2
 12|0
  6|0
  3|1
  1|1   -->   $(100)_{10} = (1100100)_{2}$

Eixemple^[13]

Per a convertir al sistema binario l'número decimal 77 farem una série de divisions que tiraran els següents resultats:

77 / 2 = 38  Residu ==> 1
38 / 2 = 19  Residu ==> 0 
19 / 2 =  9  Residu ==> 1
 9 / 2 =  4  Residu ==> 1
 4 / 2 =  2  Residu ==> 0
 2 / 2 =  1  Residu ==> 0
     Últim cocient ==> 1

Ara prenent l'últim cocient i els residus en orde invers, el resultat és: 1001101(binario)

Existix un últim método denominat de distribució. Consistix en distribuir els uns de necessaris entre les potències successives de 2 de modo que la seua suma resulte ser l'número decimal a convertir. Siga per eixemple el número 151, per al que es necessitaran les 8 primeres potències de 2, ya que la següent, 2⁸ = 256, és superior al número a convertir. Es comença posant un 1 en 128, per lo que encara faltaran 23, 151 - 128 = 23, per a aplegar al 151. Este valor es conseguirà distribuint uns entre les potències que la seua sumixca done el resultat buscat i posant zeros en el restant. En l'eixemple resulten ser les potències 4, 2, 1 i 0, açò és, 16, 4, 2 i 1, respectivament.

Eixemple

  2⁰=   1|1
  2¹=   2|1
  2²=   4|1
  2³=   8|0
  2⁴=  16|1
  2⁵=  32|0
  2⁶=  64|0
  2⁷= 128|1            $128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)_{10} = (10010111)_{2}$

Decimal a binario per mig de funció matemàtica

Per a transformar un número decimal a binario per mig d'una notació matemàtica:

$δ (x) = δ (⌊ x \div 2 ⌋) \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow x mod 2$

Esta funció recursiva cridada $δ (x)$ , es diu a sí mateixa dividint $x \div 2$ i aplicandole la funció chafe (se li aplica la funció chafe per a dur la divisió a la seua valor sancer més baix), pero solament es diu a sí mateixa, si, i solament si $x > 0$ , llavors la funció dona com a eixida: $x mod 2$

Ara, en esta funció recursiva podem convertir qualsevol número decimal a binario. Si a la funció recursiva $δ (x)$ li donem d'entrada $13$ , nos donarà un conjunt que contindria el mateix en binario:

$δ (13) = {1, 1, 0, 1}$

Decimal (en decimals) a binario

Per a transformar un número del sistema decimal al sistema binario:

Es transforma la part sancera a binario. (Si la part sancera és 0 en binario serà 0, si la part sancera és 1 en binario serà 1, si la part sancera és 5 en binario serà 101 i aixina successivament).
Se seguix en la part fraccionaria, multiplicant cada número per 2. Si el resultat obtingut és major o igual a 1 s'anota com un un (1) binario. Si és menor que 1 s'anota com un 0 binario. (Per eixemple, en multiplicar 0.6 per 2 obtenim com a resultat 1.2 la qual cosa indica que el nostre resultat és un un (1) en binario, solament es pren la part decimal del resultat).
Despuix de realisar cada multiplicació, es coloquen els números obtinguts en l'orde de la seua obtenció.

Alguns números es transformen en dígits periòdics, per eixemple: el 0.1.

Eixemple

0,3125 (decimal)   => 0,0101 (binario).
Procés:
0,3125 * 2 = 0,625 => 0
0,625  * 2 = 1,25  => 1
0,25   * 2 = 0,5   => 0
0,5    * 2 = 1     => 1 
En orde: 0101     -> 0,0101 (binario)

Eixemple

0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario). 
Procés: 
0,1 * 2 = 0,2 ==> 0
0,2 * 2 = 0,4 ==> 0
0,4 * 2 = 0,8 ==> 0
0,8 * 2 = 1,6 ==> 1
0,6 * 2 = 1,2 ==> 1
0,2 * 2 = 0,4 ==> 0  <--es repetixen les quatre sifres, periòdicament
0,4 * 2 = 0,8 ==> 0  <-
0,8 * 2 = 1,6 ==> 1  <-
0,6 * 2 = 1,2 ==> 1  <- ...
En orde: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ... (binario periòdic)

Eixemple^[14]

Convertir 0.2 (decimal) a binario. 
Procés: 
0.2 * 2 = 0.4 ==> 0
0.4 * 2 = 0.8 ==> 0
0.8 * 2 = 1.6 ==> 1
0.6 * 2 = 1.2 ==> 1
0.2 * 2 = 0.4 ==> 0

com es repetixen els valors indefinidament, el resultat és:

En orde: 0.001100110011...(binario)

Eixemple

5.5 = 5,5
5,5 (decimal)   => 101,1 (binario).
Procés:
5 => 101
0,5 * 2 = 1 => 1
En orde: 1 (un sol dígit fraccionario) -> 101,1 (binario)

Eixemple

6,83 (decimal)   => 110,110101000111 (binario).
Procés:
6 => 110
0,83 * 2 = 1,66 => 1
0,66 * 2 = 1,32 => 1
0,32 * 2 = 0,64 => 0
0,64 * 2 = 1,28 => 1
0,28 * 2 = 0,56 => 0
0,56 * 2 = 1,12 => 1
0,12 * 2 = 0,24 => 0
0,24 * 2 = 0,48 => 0
0,48 * 2 = 0,96 => 0
0,96 * 2 = 1,92 => 1
0,92 * 2 = 1,84 => 1
0,84 * 2 = 1,68 => 1
En orde: 110101000111 (binario)
Part sancera: 110 (binario)
Encadenant part sancera i fraccionaria: 110,110101000111 (binario)

Binario a Decimal

Per a realisar la conversió de binario a decimal, realise lo següent:

Comence pel costat dret del número en binario. Multiplique cada dígit per 2 elevat a la potència consecutiva (començant per la potència 0.2⁰).
Despuix de realisar cada una de les multiplicacions, sumix-les totes i el número resultant serà l'equivalent al sistema decimal.

Eixemples:

(Els números ubicats en la part superior de l'número binario indiquen la potència a la que cal elevar el número 2)

$\overset{5}{1} \overset{4}{1} \overset{3}{0} \overset{2}{1} \overset{1}{0} \overset{0}{1}_{2} = 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53$

$\overset{7}{1} \overset{6}{0} \overset{5}{0} \overset{4}{1} \overset{3}{0} \overset{2}{1} \overset{1}{1} \overset{0}{1}_{2} = 1 \cdot 2^{7} + 0 \cdot 2^{6} + 0 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 128 + 0 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 151$

$\overset{5}{1} \overset{4}{1} \overset{3}{0} \overset{2}{1} \overset{1}{1} \overset{0}{1}_{2} = 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 55$

També es pot optar per utilisar els valors que presenta cada posició de l'número binario a ser transformat, començant de dreta a esquerra, i sumant els valors de les posicions que tenen un 1.

Eixemple

L'número binario 1010010 correspon en decimal al 82. Es pot representar de la següent manera:

$\overset{64}{1} \overset{32}{0} \overset{16}{1} \overset{8}{0} \overset{4}{0} \overset{2}{1} \overset{1}{0}_{2}$

llavors se sumen els números 64, 16 i 2:

$\overset{64}{1} \overset{32}{0} \overset{16}{1} \overset{8}{0} \overset{4}{0} \overset{2}{1} \overset{1}{0}_{2} = 64 + 16 + 2 = 82$

Per a canviar de binario en decimals a decimal es fa exactament igual, llevat que la posició zero (en la que el dos és elevat a la zero) és la que està a la dreta de la menge i es conta cap a l'esquerra a partir de -1:

$\begin{matrix} \overset{5}{1} \overset{4}{1} \overset{3}{0} \overset{2}{1} \overset{1}{0} \overset{0}{1}, \overset{- 1}{1} \overset{- 2}{0} \overset{- 3}{1} = 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} + 1 \cdot 2^{- 1} + 0 \cdot 2^{- 2} + 1 \cdot 2^{- 3} = \\ = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 + \frac{1}{2^{1}} + \frac{0}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 + 0, 5 + 0 + 0, 125 = 53, 625 \end{matrix}$

Binario a decimal (en part fraccionaria binaria)

1. Inicie pel costat esquerre (la primera sifra a la dreta de la menge), cada número deurà ser multiplicat per 2 elevat a la potència consecutiva a l'inversa (començant per la potència -1, 2^-1).

2. Despuix de realisar cada una de les multiplicacions, sumix totes i el número resultant serà l'equivalent al sistema decimal.

Eixemples

0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Procés:

1 * 2 elevat a -1 = 0,5
0 * 2 elevat a -2 = 0
1 * 2 elevat a -3 = 0,125
0 * 2 elevat a -4 = 0
0 * 2 elevat a -5 = 0
1 * 2 elevat a -6 = 0,015625
La suma és: 0,640625

0,110111 (binario) = 0,859375(decimal). Procés:

1 * 2 elevat a -1 = 0,5
1 * 2 elevat a -2 = 0,25
0 * 2 elevat a -3 = 0
1 * 2 elevat a -4 = 0,0625
1 * 2 elevat a -5 = 0,03125
1 * 2 elevat a -6 = 0,015625
La suma és: 0,859375

Operacions en número binario

Adició d'número binario

La taula de sumar per a número binario és la següent:

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Les possibles combinacions en sumar dos bits són:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Note que en sumar 1 + 1 és 10₂, és dir, duem 1 a la següent posició de l'esquerra (carrege). Açò és equivalent en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que dona 10: zero en la posició que estem sumant i un 1 de carrege a la següent posició.

Eixemple

        1
      10011000
    + 00010101
    ———————————
      10101101

Es pot convertir l'operació binaria en una operació decimal, resoldre la decimal, i despuix transformar el resultat en un (número) binario. Operem com en el sistema decimal: comencem a sumar des de la dreta, en el nostre eixemple, 1 + 1 = 10, llavors escrivim 0 en la fila del resultat i duem 1 (este "1" es diu carrege o arrastre). A continuació se suma el carrege a la següent columna: 1 + 0 + 0 = 1, i seguim fins a terminar totes les columnes (exactament com en decimal).^[13]

Substracció d'número binario

L'algoritme de la resta en sistema binario és el mateix que en el sistema decimal. Pero convé repassar l'operació de restar en decimal per a comprendre l'operació binaria, que és més senzilla. Els térmens que intervenen en la resta es diuen minuent, substraent i diferència.

Les restes bàsiques 0 - 0, 1 - 0 i 1 - 1 són evidents:

0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = 1 (es transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equival a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 es resol igual que en el sistema decimal, prenent una unitat prestada de la posició següent: 0 - 1 = 1 i em duc 1 (este valor es resta al resultat que obtinga, entre el minuent i el substraent de la següent columna), lo que equival a dir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.

Eixemples

        10001                           11011001    
       -01010                          -10101011
       ——————                          —————————
        00111                           00101110

En sistema decimal seria: 17 - 10 = 7 i 217 - 171 = 46.

Per a simplificar les restes i reduir la possibilitat de cometre errors hi ha varis métodos:

Dividir els números llarcs en grups. En el següent eixemple, veem cóm es dividix una resta llarga en tres restes curtes:

        100110011101             1001     1001     1101
       -010101110010            -0101    -0111    -0010
       —————————————      =     —————    —————    —————
        010000101011             0100     0010     1011

Utilisant el complement a dos (C2). La resta de dos número binario pot obtindre's sumant al minuent el «complement a dos» del substraent.

Eixemple

La següent resta, 91 - 46 = 45, en binario és:

        1011011                                             1011011
       -0101110 el C2 de 0101110 és 1010010                +1010010
       ————————                                            ————————
        0101101                                            10101101

En el resultat nos sobra un bit, que es desborda per l'esquerra. Pero, com el número resultant no pot ser més llarc que el minuent, el bit sobrer es desprecia.

Un últim eixemple: anem a restar 219 - 23 = 196, directament i utilisant el complement a dos:

        11011011                                            11011011
       -00010111 el C2 de 00010111 és 11101001             +11101001
       —————————                                           —————————
        11000100                                           111000100

I, despreciant el bit que es desborda per l'esquerra, apleguem al resultat correcte: 11000100 en binario, 196 en decimal.

Utilisant el complement a un. La resta de dos número binario pot obtindre's sumant al minuent el complement a un del substraent i a la seua volta sumar-li el bit que es desborda.

Producte d'número binario

La taula de multiplicar per a número binario és la següent:

·	0	1
0	0	0
1	0	1

L'algoritme del producte en binario és igual que en número decimal; encara que es porta a terme en més senzillea, ya que el 0 multiplicat per qualsevol número dona 0, i l'1 és l'element neutre del producte.

Per eixemple, multipliquem 10110 per 1001:

En sistemes electrònics, a on solen usar-se números majors, s'utilisa el método cridat algoritme de Booth.

                 11101111
                 x 111011
                __________
                 11101111
                11101111
               00000000
              11101111
             11101111
            11101111
           ______________
           11011100010101

Divisió d'número binario

La divisió en binario és similar a la decimal; l'única diferència és que a l'hora de fer les restes, dins de la divisió, estes deuen ser realisades en binario.

Eixemple

Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

 100010010 /1101 = 010101
 -0000       
———————
 10001
 -1101
———————
  01000
 - 0000
 ———————
   10000
  - 1101
  ———————
    00111
   - 0000
   ———————
     01110
    - 1101
    ———————
     00001

Conversió entre sistema binario i octal

Sistema binario a octal

Degut a que el sistema octal té com a base 8, que és la tercera potència de 2, i que dos és la base del sistema binario, és possible establir un método directe per a convertir de la base dos a la base huit, sense tindre que convertir de binario a decimal i després de decimal a octal. Este método es descriu a continuació:

Per a realisar la conversió de binario a octal, realise lo següent:

1) Agrupe la cantitat binaria en grups de 3 en 3 iniciant pel costat dret. Si en terminar d'agrupar no completa 3 dígits, llavors agregue zeros a l'esquerra.

2) Posteriorment veja el valor que correspon d'acort la taula:

Número en binario	000	001	010	011	100	101	110	111
Número en octal	0	1	2	3	4	5	6	7

3) La cantitat corresponent en octal s'agrupa d'esquerra a dreta.

Eixemples

110111 (binario) = 67 (octal). Procés:

111 = 7
110 = 6
Agrupe d'esquerra a dreta: 67

11001111 (binario) = 317 (octal). Procés:

111 = 7
001 = 1
11 llavors agregue un zero, en lo que s'obté 011 = 3
Agrupe d'esquerra a dreta: 317

1000011 (binario) = 103 (octal). Procés:

011 = 3
000 = 0
1 llavors agregue 001 = 1
Agrupe d'esquerra a dreta: 103

Si l'número binario té part decimal, s'agrupa de tres en tres des del punt decimal cap a la dreta seguint els mateixos criteris establits anteriorment per a número entero. Per eixemple:

0.01101 (binario) = 0.32 (octal) Procés: 011 = 3 01 llavors agregue 010 = 2 Agrupe d'esquerra a dreta: 32 Agregue la part sancera: 0.32

Octal a binario

Cada dígit octal es convertix en el seu binario equivalent de 3 bits i es junten en el mateix orde.

Eixemple

247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario és 10, pero en binario de 3 bits és Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) i el Oc(7) = (111), després el número en binario serà 010100111.

Conversió entre binario i hexadecimal

Binario a hexadecimal

Per a realisar la conversió de binario a hexadecimal, realise lo següent:

1) Agrupe la cantitat binaria en grups de 4 en 4 iniciant pel costat dret. Si en terminar d'agrupar no completa 4 dígits, llavors agregue zeros a l'esquerra.

2) Posteriorment veja el valor que correspon d'acort la taula:

Número en binario	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Número en hexadecimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	B	C	D	I	F

3) La cantitat corresponent en hexadecimal s'agrupa de dreta a esquerra.

Eixemples

110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Procés:

1010 = A
1011 = B
1 llavors agregue 0001 = 1
Agrupe de dreta a esquerra: 1BA

11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Procés:

0101 = 5
1111 = F
110 llavors agregue 0110 = 6
Agrupe de dreta a esquerra: 6F5

Hexadecimal a binario

Note que per a passar d'hexadecimal a binario, es reemplaça el número hexadecimal per l'equivalent de 4 bits, de forma similar a com es fa de octal a binario.

Taula de conversió entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Excés 3 i Gray o Reflectit


Decimal	Binario	Hexadecimal	Octal	BCD	Excés 3	Gray o Reflectit
0	0000	0	0	0000	0011	0000
1	0001	1	1	0001	0100	0001
2	0010	2	2	0010	0101	0011
3	0011	3	3	0011	0110	0010
4	0100	4	4	0100	0111	0110
5	0101	5	5	0101	1000	0111
6	0110	6	6	0110	1001	0101
7	0111	7	7	0111	1010	0100
8	1000	8	10	1000	1011	1100
9	1001	9	11	1001	1100	1101
10	1010	A	12	0001 0000		1111
11	1011	B	13	0001 0001		1110
12	1100	C	14	0001 0010		1010
13	1101	D	15	0001 0011		1011
14	1110	I	16	0001 0100		1001
15	1111	F	17	0001 0101		1000

Factorización

Taula de conversió entre binario, factor binario, hexadecimal, octal i decimal


Binario	Factor binario	Hexadecimal	Octal	Decimal
0000 0010	2¹	2	2	2
0000 0100	2²	4	4	4
0000 1000	2³	8	10	8
0001 0000	2⁴	10	20	16
0010 0000	2⁵	20	40	32
0100 0000	2⁶	40	100	64
1000 0000	2⁷	80	200	128

Vore també

Referències

↑ Thomas: Càlcul infinitesimal i geometria analítica, Aguilar, Madrit. Vore també Drae
↑ «sistema binario». www.areatecnologia.com. Consultat el 2025-09-21.
↑ «¿Qué és el sistema binario? | Escola de programació, robòtica i pensament computacional | Codelearn.és» (en és). Consultat el 2025-09-21.
↑ S'usa el BCD, hexadecimal, etc; "Matemàtica digital" ISBN 958-600-821-5.
↑ «Conceptes bàsics de programació: Sistema binario» (en és). GCFGlobal.org. Consultat el 2025-09-21.
↑ Chrisomalis, Stephen (2010-01-18). Numerical Notation: A Comparative History (en en), Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87818-0.
↑ Asian Folklore Studies.61(2)
331.ISSN 0385-2342.doi:10.2307/1178981.Consultat el 2023-06-23.
↑ Li, Wenzhao; Poser, {{{nom2}}} (2000). Dones Neueste über China: G.W. Leibnizens Novissima Sinica von 1697 : Internationales Symposium, Berlin 4. bis 7. Oktober 1997 (en en), Franz Steiner Verlag. ISBN 978-3-515-07448-3.
↑ «Binary numbers». home.ica.net. Consultat el 2023-06-23.
↑ Nature.ISSN 0028-0836.doi:10.1038/nature.2013.14380.Consultat el 2023-06-23.
↑ «Africa in the Origins of the Binary Code - Ron Eglash by Luke Robert Mason - Issuu» (en en). issuu.com. Consultat el 2023-06-23.
↑ «Còdic binario: ¿per a qué utilisem el sistema binario?» (en és). IONOS Digitalguide. Consultat el 2022-03-29.
↑ ^13,0 ^13,1 ING. EVA VIVEROS ZENTENO. «Matemàtiques Discretes». Archivat des d'el original, el 16 de març de 2016. Consultat el 14 de març de 2016.
↑ Nieves (1999). Métodos Numèrics., Continental, S.A de C.V.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Sistema binario» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Thomas: Càlcul infinitesimal i geometria analítica, Aguilar, Madrit. Vore també Drae

[2] «sistema binario». www.areatecnologia.com. Consultat el 2025-09-21.

[3] «¿Qué és el sistema binario? | Escola de programació, robòtica i pensament computacional | Codelearn.és» (en és). Consultat el 2025-09-21.

[4] S'usa el BCD, hexadecimal, etc; "Matemàtica digital" ISBN 958-600-821-5.

[5] «Conceptes bàsics de programació: Sistema binario» (en és). GCFGlobal.org. Consultat el 2025-09-21.

[6] Chrisomalis, Stephen (2010-01-18). Numerical Notation: A Comparative History (en en), Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87818-0.

[7] Asian Folklore Studies.61(2)
331.ISSN 0385-2342.doi:10.2307/1178981.Consultat el 2023-06-23.

[8] Li, Wenzhao; Poser, {{{nom2}}} (2000). Dones Neueste über China: G.W. Leibnizens Novissima Sinica von 1697 : Internationales Symposium, Berlin 4. bis 7. Oktober 1997 (en en), Franz Steiner Verlag. ISBN 978-3-515-07448-3.

[9] «Binary numbers». home.ica.net. Consultat el 2023-06-23.

[10] Nature.ISSN 0028-0836.doi:10.1038/nature.2013.14380.Consultat el 2023-06-23.

[11] «Africa in the Origins of the Binary Code - Ron Eglash by Luke Robert Mason - Issuu» (en en). issuu.com. Consultat el 2023-06-23.

[12] «Còdic binario: ¿per a qué utilisem el sistema binario?» (en és). IONOS Digitalguide. Consultat el 2022-03-29.

[:0-13] 13,0 ^13,1 ING. EVA VIVEROS ZENTENO. «Matemàtiques Discretes». Archivat des d'el original, el 16 de març de 2016. Consultat el 14 de març de 2016.

[14] Nieves (1999). Métodos Numèrics., Continental, S.A de C.V.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]