Funcions de part sancera

En matemàtiques, les funcions de part sancera són funcions que prenen un número real i tornen un número entero pròxim, siga per excés o per defecte. Formalment són funcions de la forma:

$\begin{array}{cccc}\text{E}:& ℝ& \to & \mathbb{Z}\\ & x& \to & y=\text{E}(x)\end{array}$

Segons la forma de considerar l'número entero més pròxim a un número real donat, es poden considerar vàries funcions:

• Funció sostre, que a cada número real assigna l'número entero més pròxim per excés, és dir, el menor número entero igual o major que eixe número real. Alguns llenguages de programació tenen una implementació nativa cridada generalment ceil o Ceil (per ceiling, «sostre» en anglés).
• Funció chafe (o sol), que a cada número real assigna el major número entero igual o menor que eixe número real (per eixemple, si tenim el cas [-2.4], este s'acostaria al valor -3; o aplicant-ho a un cas positiu seria [1.5], este s'acostaria al valor 1). Alguns llenguages de programació tenen una implementació nativa cridada generalment floor o Floor («sol» en anglés).
• Truncació, que a cada número real se li assigna l'número entero resultat d'ignorar la seua part decimal.
• Grosseig, que a cada número real assigna l'número entero més pròxim segons la seua part decimal.

Un concepte relacionat en estes funcions és la part fraccionaria, la representació de la qual és la d'una ona de serra.

Funció sostre

La funció sostre s'aplica a un número real x i torna el mínim número entero i no inferior a x:

$\begin{array}{cccc}\text{techo}:& ℝ& \to & \mathbb{Z}\\ & x& \to & y=\text{techo}(x)\end{array}$

Definida:

$\text{techo}(x)=\lceil x\rceil =\min \{k\in \mathbb{Z}\mid x\le k\}$

O d'una atra forma:

$y=\lceil x\rceil :y=\{y:y\in \mathbb{Z}\wedge x\in ℝ\wedge y-1<x\le y\}$

Es coneix també com a funció mínim sancer o com a funció sancer menor (que és major o igual que x). Precaució: Algunes publicacions li criden "funció sancer major" degut a que torna el sancer major o igual que x.

Propietats

• Per a qualsevol número real es complix que $\lceil x\rceil \ge x$.
• L'número real x al que s'aplica la funció sostre és un número entero si i solament si la funció sostre de x té el mateix valor que x.

• La funció sostre té punts de discontinuïtat en els número entero pero és diferenciable per al restant de punts.
• La funció sostre pot expressar-se com a integral per mig de la delta de Dirac i la funció característica del conjunt dels sancers:

Estes funcions no són algebraiques ni trascendentes, per lo que són funcions no elementals

Eixemples

Per a un número real no sancer:

$\lceil 2.3\rceil =\min \{k\in \mathbb{Z}\mid 2,3\le k\}=3$

$\lceil -2.3\rceil =\min \{k\in \mathbb{Z}\mid -2,3\le k\}=-2$

Per a un número entero:

$\lceil 2\rceil =\min \{k\in \mathbb{Z}\mid 2\le k\}=2$

$\lceil -2\rceil =\min \{k\in \mathbb{Z}\mid -2\le k\}=-2$

Funció chafe/sol

La funció solc s'aplica a un número real x i torna el màxim número entero i no superior a x el conjunt de la qual de partida (domini) i conjunt d'arribada (ranc) són:

$\begin{array}{cccc}\text{suelo}:& ℝ& \to & \mathbb{Z}\\ & x& \to & y=\text{suelo}(x)\end{array}$

Funció partix sancera de x al quadrat.

i es definix com:

$\text{suelo}(x)=\lfloor x\rfloor =\max \{k\in \mathbb{Z}\mid k\le x\}$

També es pot expressar com:

$\begin{array}{cc}y& =\mathrm{suelo}(x)\\ y& =\lfloor x\rfloor \\ y& =\{y:y\in \mathbb{Z}\wedge x\in ℝ\wedge y\le x<y+1\}\end{array}$

Es coneix també com a funció màxim sancer o com a funció sancer major (que és menor o igual que x). Precaució: Algunes publicacions li criden "funció sancer menor" degut a que torna el sancer menor o igual que x.

Propietats

L'número real x al que s'aplica la funció solc és un número entero si i solament si la funció chafe de x té el mateix valor que x.

$x\in \mathbb{Z}\iff \lfloor x\rfloor =x$

Podem deduir que si m i n són número entero estrictament positius coprimos llavors (fòrmula de Sylvester):

$\sum _{k=1}^{n-1}\lfloor \frac{km}{n}\rfloor =\frac{(m-1)(n-1)}{2}$.

La fòrmula anterior pot ser generalisada per a tot m i n sancers estrictament positius:

$\sum _{k=1}^{n-1}\lfloor \frac{km}{n}\rfloor =\frac{(m-1)(n-1)+\mathrm{mcd}(m,n)-1}{2}$.

Eixemples

Per a un número real no sancer:

$\lfloor 2.3\rfloor =\max \{k\in \mathbb{Z}\mid k\le 2,3\}=2$

$\lfloor -2.3\rfloor =\max \{k\in \mathbb{Z}\mid k\le -2,-3\}=-3$

Per a un número entero:

$\lfloor 2\rfloor =\max \{k\in \mathbb{Z}\mid k\le 2\}=2$

$\lfloor -2\rfloor =\max \{k\in \mathbb{Z}\mid k\le -2\}=-2$

Vore també

• Funció contínua
• Representació de números en signe
• Funció definida a trossos
• Funció escaló de Heaviside
• Funció rectangular
• Funció escalonada
• Funció identitat
• Funció signe
• Valor absolut
• Funció rampa
• Part fraccionaria
• Mantissa