Distribució de Cauchy

Distribució de Cauchy

La distribució Cauchy-Lorentz, cridada en honor a Augustin Louis Cauchy i Hendrik Lorentz, és una distribució de provabilitat contínua. És coneguda com la distribució de Cauchy i en l'àmbit de la física es coneix com la distribució de Lorentz, la funció Lorentziana o la distribució de Breit-Wigner. La seua importància en la física és donada per ser la solució de l'equació diferencial que descriu la resonància forçada. En espectroscòpia descriu la forma de les llínees espectrals que són ampliades per diversos mecanismes, en particular, el mecanisme de eixamplada per colisió.

Caracterisació

Funció de densitat

En estadística la distribució de Cauchy (a voltes també distribució de Lorentz) és una distribució de provabilitat contínua que la seua funció de densitat és

$\begin{array}{cc}f(x;x_0,\gamma )& =\frac{1}{\pi \gamma [1+{\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)}^2]}\\ & =\frac{1}{\pi }\left[\frac{\gamma }{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}\right]\end{array}$

a on x₀ és el paràmetro de corriment que específica l'ubicació del pico de la distribució, i γ és el paràmetro d'escala que específica l'ample mig al màxim mig (half-width at half-maximum, HWHM).

En el cas especial a on x₀ = 0 i γ = 1 és denominat la distribució estàndar Cauchy en la funció de densitat de provabilitat

$f(x;0,1)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}.$

En general la distribució de Cauchy no té valor esperat ni varianza.

Sean $U$ i $V$ dos variables aleatòries uniformes dins -1 i 1 i $U^2+V^2<1$, llavors el número $U/V$ té la distribució Cauchy.

Funció de distribució

La funció de distribució acumulativa (CDF) és:

$F(x;x_0,\gamma )=\frac{1}{\pi }\arctan \left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)+\frac{1}{2}$

i la funció inversa de distribució acumulativa per a la distribució Cauchy és

$F^{-1}(p;x_0,\gamma )=x_0+\gamma \tan \left[\pi (p-\frac{1}{2})\right].$

Propietats

La distribució de Cauchy és un eixemple d'una distribució que no té valor esperat, varianza o moments definits. El seu moda i la seua mijana estan ben definides i són abdós iguals a x₀.

Quan O i V són dos variables aleatòries independents i normalment distribuïdes en un valor esperat = 0 i una varianza = 1, després la taxaO/V té la distribució estàndar de Cauchy.

Sí X₁, …, X_n són variables aleatòries, independents i idénticamente distribuïdes, cada una en una distribució Cauchy, després la mija de la mostra (X₁ + … + X_n)/n té la mateixa distribució Cauchy estàndar (la mija de la mostra, la qual no és afectada pels valors extrems, pot ser usada com a mida de la tendència central). Per a comprovar que açò és cert es calcula la funció característica de la mija de la mostra:

${\varphi }_{\bar{X}}(t)=\mathrm{E}\left(e^{i\bar{X}t}\right)$

a on $\bar{X}$ és la mija de la mostra. Este eixemple servix per a demostrar que l'hipòtesis d'varianza finita en el teorema del llímit central no pot ser deposta, de la mateixa manera que l'hipòtesis d'esperança finita en la llei dels grans números. És també un eixemple d'una versió més generalisada de la teorema de llímit central que és característica de totes les distribucions asimètriques alpha-estables de Lévy, de les quals és la distribució de Cauchy un cas especial.

La distribució de Cauchy és una funció de distribució infinitament divisible. És també una distribució estrictament estable.

La distribució de Cauchy coincidix en la distribució t de Student en un grau de llibertat.

Funció Característica

Siga X una variable aleatòria en una distribució Cauchy. Després la funció característica de la distribució Cauchy està ben definida:

${\varphi }_x(t;x_0,\gamma )=\mathrm{E}(e^{iXt})=\exp (i{x}_{0}t-\gamma |t|).$

Aplicació de la distribució de provabilitat acumulada de Cauchy a pluges diárias màximes.

Vore també

• Parametrización de McCullagh de les distribucions de Cauchy