Funció generadora de moments

En provabilitat i estadística, la funció generadora de moments o funció generatriz de moments d'una variable aleatòria $X$ és

$M_X(t):=\mathrm{E}\left[e^{tX}\right],t\in ℝ,$

sempre que esta esperança existixca.

La funció generatriz de moments es diu aixina perque, si existix en un entorn de $t=0$, permet generar els moments de la distribució de provabilitat:

$\mathrm{E}\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)=\frac{d^n{M}_X}{d{t}^n}(0).$

Si la funció generadora de moments està definida en tal interval, llavors determina unívocamente a la distribució de provabilitat.^{cita requerida}

Un problema clau en les funcions generadores de moments és que els moments i la pròpia funció generatriz no sempre existixen, perque les integrals que els definixen no són sempre convergents. Pel contrari, la funció característica sempre existix i pot usar-se en el seu lloc.

De forma general, a on $𝐗=(X_1,\dots ,X_n)$ és un vector aleatori n-dimensional, s'usa $𝐭\cdot 𝐗={𝐭}^{\mathrm{T}}𝐗$ en lloc de $tX$:

$M_{𝐗}(𝐭):=\mathrm{E}\left[e^{{𝐭}^{\mathrm{T}}𝐗}\right]$

En ocasions s'escriu $M(t)$ en lloc de $M_X(t)$ i s'usen les lletres f.g.m en lloc del terme funció generadora de moments.

Càlcul

Si $X$ és una variable aleatòria contínua en funció de densitat $f(x)$, llavors la funció generadora de moments ve donada per:

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}f(x)\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+tx+\frac{t^2{x}^2}{2!}+\cdots )f(x)\mathrm{d}x$

$M_X(t)=1+t{m}_1+\frac{t^2{m}_2}{2!}+\cdots$

a on $m_i$ és el $i$-ésimo moment. $M_X(-t)$ és, precisament, la transformada bilateral de Laplace de $f(x)$.

Independentment de que la distribució de provabilitat siga contínua o no, la funció generadora de moments ve donada per l'integral de Riemann-Stieltjes

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}dF(x)$

a on $F$ és la funció de distribució. Si $X_1,X_2,\dots ,X_n$ és una seqüència de variables aleatòries independents (i no necessàriament idénticamente distribuïdes) i

$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i,$

a on les $a_i$ són constants, llavors la funció de densitat de $S_n$ és la convolución de la funció de densitat de cada una de les $X_i$ i la funció generadora de moments per a $S_n$ ve donada per

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_{1}t)M_{X_2}(a_{2}t)\cdots M_{X_n}(a_{n}t)$

Para variables aleatòries multidimensionales $X$ en components reals, la funció generadora de moments ve donada per

$M_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{⟨t,X⟩}\right]$

a on t és un vector i $⟨t,X⟩$ és el producte punt.

Funció generatriz de moments per a algunes distribucions

• Si $X\sim \text{Unif}(a,b)$ llavors $M_X(t)=\frac{e^{bt}-e^{at}}{bt-at}$.
• Si $X\sim \text{Exp}(\lambda )$ llavors $M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t}$.
• Si $X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$ llavors $M_X(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{\alpha }$.
• Si $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ llavors $M_X(t)=e^{\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}}$.
• Si $X\sim {\chi }_n^2$ llavors $M_X(t)=(1-2t{)}^{-n/2}$.

Vore també

• Funció característica