Mija (matemàtiques)

En matemàtiques i estadística, una mija o promig és una mida de tendència central. És una cantitat numèrica que representa el centre d'una colecció de números i és un valor intermig als extrems d'un conjunt de números. Resulta en efectuar una série determinada d'operacions en un conjunt de números i que, en determinades condicions, pot representar per sí solament a tot el conjunt. En matemàtiques i especialment en l'àmbit de l'estadística, existixen distints tipos de miges (o "mides de tendència central"), tals com la mija geomètrica, la mija ponderada i la mija harmònica encara que en el llenguage comú, tant en estadística com en matemàtiques l'elemental de totes elles és el terme que es referix generalment a la mija aritmètica. Cada una intenta resumir o tipificar un grup donat de senyes, ilustrant la magnitut i el signe del conjunt de senyes. Quin d'estes mides és més esclarecedora depén de lo que s'estiga medint i del context i el propòsit.

Per a una població finita, la mija poblacional d'una propietat és igual a la mija aritmètica d'una propietat determinada, tenint en conte a cada membre de la població. Per eixemple, l'altura promig d'una població és igual a la suma de les altures de cada individu dividida pel número total d'individus. La mija mostral pot diferir de la mija poblacional, especialment per a mostres menudes. La llei dels grans números establix que quant major siga el tamany de la mostra, major serà la provabilitat de que la mija mostral s'acoste a la mija poblacional.

Eixemples de miges

Existixen numerosos eixemples de miges $\overline{x}=m_i(x_1,\dots ,x_n)$, una de les poques propietats compartides per totes les miges és que qualsevol mija està compresa entre el valor màxim i el valor mínim del conjunt de variables:

Ademés deu complir-se que:

Mija aritmètica

Artícul principal → Mija aritmètica.

La mija aritmètica és un promig estàndar que a sovint es denomina promig.

La mija es confon a voltes en la mijana o moda. La mija aritmètica és el promig d'un conjunt de valors, o la seua distribució; no obstant, per a les distribucions en biaix, la mija no és necessàriament el mateix valor que la mijana o que la moda exponencial i de Poisson.

Per eixemple, la mija aritmètica de 34, 27, 45, 55, 22, 34 (sis valors) és $\frac{34+27+45+55+22+34}{6}=\frac{217}{6}\approx 36,167$

Mija aritmètica ponderada

Artícul principal → Mija ponderada.

A voltes pot ser útil otorgar pesos o valors a les senyes depenent de la seua rellevància per a determinat estudi. En eixos casos es pot utilisar una mija ponderada. Si $X_1,X_2,\dots ,X_n$ és un conjunt de senyes o mija mostral i $w_1,w_2,\dots ,w_n$ són número real positius, cridats "pesos" o factors de ponderació, es definix la mija ponderada és dir que és relativa a eixos pesos com:

La mija és invariante front a transformacions llineals, canvi d'orige i escala, de les variables, és dir si X és una variable aleatòria i I és una atra variable aleatòria que depén linealmente de X, és dir, I = a·XL + b (a on a representa la magnitut del canvi d'escala i b la del canvi d'orige) es té que:

Mija geomètrica

Artícul principal → Mija geomètrica.

La mija geomètrica és un promig molt útil en conjunts de números que són interpretats en orde del seu producte, no de la seua suma (tal i com ocorre en la mija aritmètica). Per eixemple, les velocitats de creiximent.

$\overline{x}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{1/n}$

Per eixemple, la mija geomètrica de la série de números 1,2,3,4,5,9 (sis valors) és $(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 9{)}^{1/6}=1080^{1/6}\approx 3,203$

Mija harmònica

Artícul principal → Mija harmònica.

La mija harmònica és un promig molt útil en conjunts de números que es definixen en relació en alguna unitat, per eixemple la velocitat (distància per unitat de temps).

$\overline{x}=n\cdot {\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}\right)}^{-1}$

Per eixemple, la mija harmònica dels números: 34, 27, 45, 55, 22, i 34 és:

$\frac{6}{\frac{1}{34}+\frac{1}{27}+\frac{1}{45}+\frac{1}{55}+\frac{1}{22}+\frac{1}{34}}\approx 33,018$

Generalisacions de la mija

Existixen diverses generalisacions de les miges anteriors.

Mija generalisada

Artícul principal → Mija generalisada.

Les miges generalisades, també conegudes com a miges de Hölder, són una abstracció de les miges quadràtiques, aritmètiques, geomètriques i harmòniques. Es definixen i agrupen a través de la següent expressió:

Elegint un valor apropiat del paràmetro m, es té:

• $m\to \mathrm{\infty }$ - màxim,
• $m=2$ - mija quadràtica,
• $m=1$ - mija aritmètica,
• $m\to 0$ - mija geomètrica,
• $m=-1$ - mija harmònica,
• $m\to -\mathrm{\infty }$ - mínim.

Mija-f generalisada

Esta mija pot generalisar-se per a una funció monòtona com la mija-f generalisada:

a on $f:I\to I$ siga una funció inyectiva i $I\subset ℝ$ un interval. Triant formes particulars per a f s'obtenen algunes de les miges més conegudes:

• $f(x)=x$ - mija aritmètica, $I=ℝ$
• $f(x)=\frac{1}{x}$ - mija harmònica, $I=(0,\mathrm{\infty })$
• $f(x)=x^m$ - mija generalisada, $I=(0,\mathrm{\infty })$
• $f(x)=\ln x$ - mija geomètrica, $I=(0,\mathrm{\infty })$.

Mija d'una funció

Per a una funció contínua $f$ sobre un interval [a,b], es pot calcular el valor mig de funció $f$ sobre [a,b] com:

De fet la definició anterior val encara per a una funció acotada encara que no siga contínua, en la condició de que siga mesurable.

Ubicació estadística

En estadística descriptiva, la mija pot confondre's en la mijana, la moda o el centre del ranc, perque qualsevol d'elles pot denominar-se "promig" (més formalment, una mida de tendència central). El valor mig d'un conjunt d'observacions és la mija aritmètica dels valors; no obstant, per a distribucions asimètriques, la mija no és necessàriament la mateixa que el centre (mijana) o el valor més provable (moda). Per eixemple, l'ingrés mig sol estar biaixat cap a dalt pel menut número de persones en ingressos molt alts, de modo que la majoria té ingressos inferiors al promig. Pel contrari, l'ingrés mig és el nivell en el que la mitat de la població està per davall i l'atra mitat per damunt. L'ingrés modus és l'ingrés més provable i beneficia a més persones en ingressos més baixos. Si be la mijana i la moda solen ser medides més intuïtives per a senyes tan asimètriques, moltes distribucions asimètriques en realitat es descriuen millor per la seua mija, incloses les distribucions exponencial i de Poisson.

Mija estadística

La mija estadística s'usa en estadística per a dos conceptes diferents encara que numèricament similars:

• La mija mostral, que és un estadístic que es calcula a partir de la mija aritmètica d'un conjunt de valors d'una variable aleatòria.
• La mija poblacional, valor esperat o esperança matemàtica d'una variable aleatòria.

En la pràctica donada una mostra estadística suficientment gran el valor de la mija mostral de la mateixa és numèricament molt propenc a l'esperança matemàtica de la variable aleatòria mida en eixa mostra. Dit valor esperat, solament és calculable si es coneix en tota exactitut la distribució de provabilitat, cosa que rarament succeïx en la realitat, per eixa raó, a efectes pràctics la cridada mija es referix normalment a la mija mostral.

Mija mostral

La mija mostral és una variable aleatòria, ya que depén de la mostra, si be és una variable aleatòria en general en una varianza menor que les variables originals usades en el seu càlcul. Si la mostra és gran i està ben triada, pot tractar-se la mija mostral com un valor numèric que aproxima en precisió la mija poblacional, que caracterisa una propietat objectiva de la població. Es definix com seguix, si es té una mostra estadística de valors $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ per a una variable aleatòria X en distribució de provabilitat F(x,θ) [a on θ és un conjunt de paràmetros de la distribució] es definix la mija mostral n-ésima com:

${\overline{X}}_n=T(X_1,X_2,\dots ,X_n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\frac{X_1+X_2+\dots +X_n}{n}$.

Mija poblacional

La mija poblacional tècnicament no és una mija sino un paràmetro fix que coincidix en la esperança matemàtica d'una variable aleatòria. El nom "mija poblacional" s'usa per a significar qué valor numèric d'una mija mostral és numèricament propenc al paràmetro media poblacional, per a una mostra adequada i suficientment gran.

Usos

Evaluació general

El promig s'utilisa àmpliament en l'evaluació escolar. En molts sistemes escolars, part de l'evaluació de l'estudiant resulta en una calificació numèrica. Per eixemple:

• en Espanya: de 0 a 10
• en França, Tunis, Argèlia i Marroc: de 0 a 10 o de 0 a 20 (sent 0 la pijor puntuació, 10 o 20 la millor);
• en Suïssa: de l'1 al 6 (sent 1 la pijor nota, 6 la millor);
• en Alemània: de 6 a 1 (sent 6 la pijor puntuació, 1 la millor);
• en Canadà: de 0 a 100 (sent 0 la pijor puntuació, 100 la millor);
• en Dinamarca: de -3 a 12 (-3 és la pijor puntuació, 12 la millor).

Podem llavors calcular el promig de les calificacions d'una classe en una matèria, o el promig de les calificacions d'un estudiant en una matèria. Estos promijos tenen diferents significats:

• Se supon que el promig de la classe representa un "nivell general", si això té algun sentit;

• en el cas d'un examen de gran envergadura, com el bachillerat en França o la selectivitat en Espanya, a on molts alumnes fan el mateix examen pero són corregits per professors diferents, la diferència de miges entre grups pot indicar una diferència de correcció segons el professor (alguns més severs, uns atres més tolerants), i per eixemple, es pot realisar una correcció de notes, una «alliniació», de manera que tots els grups tinguen la mateixa mija; per eixemple, si m1, m2… són els promijos del grup i M el promig general, llavors les calificacions del grup i es multiplicaran per M/la meua;
• en el cas d'un estudiant: el promig de les notes d'una assignatura permet nivellar els resultats; Aixina que, si els resultats són fluctuantes, les debilitats d'un moment es compensen en els èxits d'un atre moment;
• el promig de les notes d'un estudiant en vàries assignatures és una atra forma de nivellar els resultats, ya no en el temps sino en funció de l'assignatura: els punts forts compensen els punts dèbils; la mija és llavors un criteri de selecció, sabent que lo que s'exigix d'un alumne no és que siga bo en tot, sino que tinga qualitats que li permeten compensar els seus defectes; Quan certs temes són més importants que uns atres, s'apliquen coeficients de ponderació (vore més avall).

En estos eixemples, el promig és un suavisat dels valors. Per supost, es pot preguntar si el promig és un criteri de selecció rellevant (vore Evaluació sumativa); En general, este no és l'únic criteri que entra en joc, en excepció de certs exàmens i oposicions.

Estadística

La mija és el valor únic que deuen tindre tots els individus d'una població (o mostra) per a que el seu total no varie. És un criteri de posició.

En la majoria dels casos, el total format pels individus d'una població és la suma dels seus valors. El promig és llavors la mija aritmètica. Pero si el total representat per una població o mostra no és la suma dels seus valors, la mija rellevant ya no serà la mija aritmètica.

Si, per eixemple, el total d'un conjunt d'individus és el producte dels seus valors, és apropiat calcular la seua mija geomètrica.

Per tant, el promig només pot concebre's per a una variable quantitativa. No podem sumar els valors d'una variable qualitativa. Quan la variable siga ordinal es preferirà la mijana.

Geometria

El baricentre d'un conjunt finito de punts en el pla o espai afí (possiblement en pesos positius o negatius) està definit per una relació vectorial i correspon essencialment a la noció física de centre de massa.

Les coordenades cartesianas d'este baricentre en un marc de referència estan donades per la mija aritmètica ponderada de les coordenades dels diferents punts.

Anàlisis

La mija de Cesàro assegura que per a qualsevol seqüència convergent o, la seqüència de miges parcials ${\left(\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{u}_k\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ també convergix al mateix llímit.

Este resultat nos permet estendre la noció de llímit a successions divergents pero per a les que la successió de miges parcials convergix, com per eixemple la successió (−1)ⁿ_n⩾0, les miges parcials del qual tendixen a 0, o la série associada, cridada série de Grandi, a la que llavors atribuïm el llímit 1/2.

Este método s'utilisa, per eixemple, en la definició de la suma de Fejér.

Provabilitats

La mija empírica d'una mostra de variables aleatòries reals (X1, … , Xn) és simplement la mija aritmètica d'estes variables, denotada $\bar{X}$ o ${\bar{X}}_n$. És una variable que té la mateixa expectativa que les variables Xi pero una varianza dividida per n (baixe la condició d'existència). Servix en particular com a estimador (estadístic) de l'expectativa.

Física

Les regles de conservació per a diferents cantitats físiques conduïxen a l'us de promijos diferents.

Aixina, la Capacitat elèctrica promig dels condensadorés en série és la mija harmònica de les seues capacitancias, com la resistència promig (electricitat) dels conductors òhmics en paralel.

Com la energia cinètica depén linealmente del quadrat de la velocitat, la velocitat promig d'un conjunt de partícules agitades tèrmicament és la mija quadràtica de les velocitats individuals.

Vore també

Atres miges estadísticas són:

• la mija quadràtica.
• la mija aritmètica geomètrica.
• la mija heroniana.

Bibliografia

• Real Acadèmia Espanyola (2001). Diccionari de la llengua espanyola, vigèsima segona edició.