Àlgebra de Banach

En matemàtiques, especialment en l'anàlisis funcional, un àlgebra de Banach, que du el nom del matemàtic Stefan Banach, és un àlgebra associativa $A$ sobre els número real o complexos (o sobre un cos normado complet no arquimediano) que al mateix temps també és un espai de Banach, és dir, un espai normado que és complet baix la mètrica induïda per la norma. Cridant la norma de $A$ com $‖ \cdot ‖_{A}$ , és necessari que satisfaça la condició

‖ x \cdot y ‖_{A} \leq ‖ x ‖_{A} ‖ y ‖_{A},

para tot

x, y \in A

.

Esta condició nos assegura que la multiplicació en

A

siga contínua.

La teoria en àlgebra de Banach pot variar molt depenent del cos en el que es treballe. Per eixemple, l'espectre d'un element en un àlgebra de Banach complexa no trivial mai serà buida, mentres en un àlgebra de Banach real pot ser buida per a alguns elements d'ella. És important tindre en conte que no devem llimitar-nos al cos dels reals o complexos, per eixemple en l'anàlisis p-ádico es treballa en àlgebra de Banach sobre cossos de números p-ádicos.

Definició

Siga $A$ un àlgebra associativa sobre els reals o complexos (o sobre un cos normado complet no arquimidiano). Siga $‖ \cdot ‖_{A} : A \to ℝ_{\geq 𝟘}$ una norma tal que

$‖ x \cdot y ‖_{A} \leq ‖ x ‖_{A} ‖ y ‖_{A}$ para tot $x, y \in A$ ,

llavors direm que $A$ és un àlgebra normada. Si ademés esta àlgebra normada $(A, ‖ \cdot ‖_{A})$ és un espai de Banach (espai vectorial normado i complet) llavors la cridem un àlgebra de Banach.^[1]

Note que un àlgebra de Banach $A$ no s'assumix ni conmutativa ( $x \cdot y = y \cdot x$ para tot $x, y \in A$ ) ni unitària ( existix $1_{A} \in A$ tal que $1_{A} \cdot x = x \cdot 1_{A} = x$ para tot $x \in A$ ).

Cridarem a un àlgebra de Banach real o complexa quan és sobre el cos dels número real o complexos respectivament.

Estructura

Homomorfismes

Si $A$ i $B$ són àlgebra de Banach sobre el cos $𝕂$ , direm que $ρ : A \to B$ és un homomorfisme de àlgebra de Banach si $ρ$ és una funció $𝕂$ -llineal que respecta la multiplicació en abdós àlgebra, açò és

$ρ (x \cdot_{A} y) = ρ (x) \cdot_{B} ρ (y)$ para tot $x, y \in A$ ,

a on $\cdot_{A}$ i $\cdot_{B}$ són les multiplicacions en $A$ i $B$ respectivament.

Donat un homomorfisme $ρ$ definim com el núcleu o kernel de $ρ$ al conjunt $ker (ρ) : = {x \in A; ρ (x) = 0}$ el qual no és difícil vore que correspon a un ideal de $A$ .

És important tindre en ment que no tot homomorfisme entre àlgebra de Banach és continu.

Àlgebra unitàries

Un àlgebra de Banach és cridada unitària si posseïx un element neutre o unitat, açò és, existix $1_{A} \in A$ tal que $1_{A} \cdot x = x \cdot 1_{A} = x$ para tot $x \in A$ . No és difícil comprovar que $‖ 1_{A} ‖_{A} \geq 1$ , de fet podem crear una norma equivalent a $‖ \cdot ‖_{A}$ , digam $‖ \cdot ‖_{A}^{'}$ tal que $‖ 1_{A} ‖_{A}^{'} = 1$ . D'esta manera, en tota àlgebra de Banach unitària pot supondre's que la norma de l'unitat és $1$ .

Qualsevol àlgebra de Banach $A$ (unitària o no) pot ser incrustada isométricamente en un àlgebra de Banach unitària $A_{e}$ de tal modo que l'image de $A$ seria un ideal tancat de $A_{e}$ . En atres paraules, existix un homomorfimos de àlgebra de Banach $ρ : A \to A_{e}$ isomètric tal que $A_{e}$ és unitària i $ρ (A)$ és un ideal de $A_{e}$ .

Comunament s'assumix des d'un principi que un àlgebra de Banach és unitària,^[1] l'existència de l'unitat en $A_{e}$ ajuda a desenrollar una gran cantitat de resultats que poden ser traslladats a l'àlgebra de Banach original $A$ . No obstant este no sempre és el cas, per eixemple no és possible definir totes les funcions trigonométricas en un àlgebra de Banach sense l'existència de l'unitat. Un atre eixemple comú ocorre en el cas de les C*-àlgebra, a on si $A$ no té unitat, llavors l'espectre de Gelfand de $A_{e}$ serà compacte mentres que el de $A$ només serà localment compacte.

Elements invertibles

Supondrem en esta part que l'àlgebra de Banach $A$ és unitària en unitat $1_{A}$ . Siga $x \in A$ , direm que $x$ és invertible en $A$ si existix un element $y \in A$ tal que $x \cdot y = y \cdot x = 1_{A}$ . No és difícil vore que este element $y$ és únic, usualment es definix $x^{- 1} : = y$ . Un subconjunt important de l'àlgebra $A$ correspon a

$Inv (A) : = {x, x es invertible en A}$ ,

el qual una de les seues propietats és ser un subconjunt obert de $A$ .^[2] Un problema interessant ocorre quan considerem una sub àlgebra $S \subset A$ i observar si efectivament $Inv (S) \subset S$ , a estes sub àlgebra les cridem simètriques.

Més encara, la funció $x \mapsto x^{- 1}$ en $Inv (A)$ és contínua, transformant a este espai en un grup topològic.^[2]

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Rudin, Walter (1987). «18», Real and Complex analysis (en Anglés), McGraw-Hill, p. 356. ISBN 0070542341.
↑ ^2,0 ^2,1 Conway, John (1990). «VII», A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics (en Anglés), Teorema 2.2: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5.

Bibliografia

Rudin, W. Anàlisis funcional. 1979. Editorial Reverté S.A., imprés en Espanya. ISBN 84-291-5115-X.
Merklen, Héctor A.: Estructures algebraiques VII [Estructures de àlgebra] (1983), publicació de l'Organisació dels Estats Americans, Washington D.F.

Nachbin, Leopoldo: Introduçāo à análise funcional: Espaços de Banach i càlcul difrencial (1976) publicació d'Estats Americans, Washington D.F.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Álgebra de Banach» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:0-1] 1,0 ^1,1 Rudin, Walter (1987). «18», Real and Complex analysis (en Anglés), McGraw-Hill, p. 356. ISBN 0070542341.

[:1-2] 2,0 ^2,1 Conway, John (1990). «VII», A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics (en Anglés), Teorema 2.2: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5.

[1]

[2]