C*-àlgebra

En matemàtiques, especialment en anàlisis funcional, una C*-àlgebra (pronunciat "C estrela àlgebra") és un àlgebra de Banach en una involució satisfent propietats similars a les dels operadors adjunts. Un cas particular és el d'un àlgebra complexa $A$ d'operadors llineals continus sobre un espai de Hilbert $\mathscr{H}$ junt a dos propietats adicionals:

• $A$ és un subespacio tancat de $𝔹(\mathscr{H})$ en la topología generada per la norma d'operadors.
• $A$ és tancada baix l'operació de adjunción d'operadors, açò és, si $x\in A$ llavors $x^{*}\in A$.

Una atra classe important de C*-àlgebra correspon a l'àlgebra de funcions contínues $f:X\to ℂ$ que es desvanixen en l'infinit, a on $X$ és un espai de Hausdorff localment compacte (comunament este espai és denotat com $C_0(X)$ ).

Les àlgebra C*-àlgebra es varen considerar en un principi pel seu us en mecànica quàntica. Esta llínea d'investigació va començar en els estudis de Werner Heisenberg en mecànica matricial i en una forma més rigorosa per Pascual Jordan en 1933. Posteriorment, John von Neumann va intentar establir un marc general per a estes àlgebra, que va culminar en una série d'artículs sobre anells d'operadors. Estos artículs varen considerar una classe especial de C*-àlgebra que ara es coneixen com a àlgebra de von Neumann.

En 1943 el treball d'Israel Gelfand i Mark Naimark va produir una caracterisació abstracta de C*-àlgebra sense fer referència a operadors en un espai de Hilbert.

Les C*-àlgebra són ara una ferramenta important en la teoria de representacions unitàries de grups localment compactes, i també s'utilisen en formulació algebraiques de mecànica quàntica.

Caracterisació Abstracta

La descripció exposta ací correspon a la caracterisació donada en el treball Gelfand i Naimark en 1943. Una C^*-àlgebra és un àlgebra de Banach $A$ sobre el cos dels número complejo, en conjunt en una funció ${}^{*}:A\to A$ cridada involució que té les següents propietats per a tot $x,y\in A$ i $\lambda \in ℂ$ :

1. Involutiva: $x^{**}=(x^{*}{)}^{*}=x$.
2. Antilineal: $(x+y{)}^{*}=x^{*}+y^{*}$ , $(\lambda x{)}^{*}=\bar{\lambda }{x}^{*}$.
3. Contravariante: $(xy{)}^{*}=y^{*}{x}^{*}$.
4. Satisfà la C* identitat: $\Vert x{x}^{*}\Vert =\Vert x{\Vert }^2$.

Si un àlgebra de Banach $M$ satisfà les condicions 1, 2 i 3 la cridem simplement *-àlgebra.

Important: Existixen referències que criden a la condició 4 com a B* identitat mentres que la C* identitat és considerada com $\Vert x{x}^{*}\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{*}\Vert$ para tot $x\in A$. No obstant estes dos condicions són equivalents i açò ha causat que els térmens "B* identitat" o "B*-àlgebra" hagen segut deixats d'usar en el temps.

Una miqueta d'història: des de la B* identitat fins a la C* identitat

El terme B*-àlgebra va ser introduït per C. E. Rickart en 1946 per a descriure *-àlgebra de Banach que satisfan la condició:

• $\Vert x{x}^{*}\Vert =\Vert x{\Vert }^2$ for all para tot $x$ en la B*-àlgebra (B* condició).

Esta condició automàticament implica que la *-involució és isomètrica, açò és, $\Vert x\Vert =\Vert x^{*}\Vert$. Per lo tant, $\Vert x{x}^{*}\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{*}\Vert$, i aixina una B*-àlgebra és també una C*-àlgebra. Aixina mateix, la C* condició implica la B* condició. Açò és no trivial, i pot ser provat sense usar la condició $\Vert x\Vert =\Vert x^{*}\Vert$. Per estes raons, el terme B*-àlgebra és rarament usat actualment i ha segut reemplaçat pel terme 'C*-àlgebra'.

El terme C*-àlgebra va ser introduït per I. I Segal en 1947 per a descriure sub àlgebra tancades (baixe la norma operatorial) de $𝔹(\mathscr{H})$ (espai d'operadors acotats sobre l'espai de Hilbert $\mathscr{H}$). La lletra 'C' prové per la paraula closed (tancat en anglés). En el seu artícul Segal definix una C*-àlgebra com un "àlgebra uniformemente tancada d'operadors acotats i autoadjuntos sobre un espai de Hilbert".

Vore també

• *-àlgebra
• Àlgebra
• Àlgebra associativa
• Àlgebra de Banach
• Àlgebra de Von Neumann
• C*-àlgebra topológicamente graduada
• Física local quàntica
• Teoria Espectral

Enllaços externs

• (anglés) Pierre de la Harpe i Vaughan Jones, An Introduction to C*-Algebras
• Archivat el 11 de novembre de 2021 archivat en Wayback Machine.

• Plantilla:Lliure