Àlgebra d'incidència

Un conjunt parcialment ordenat és localment finito quan cada interval tancat [a, b] és finito. Per a cada poset localment finito i cada cos d'escalares hi ha un àlgebra d'incidència, que és un àlgebra associativa definida com seguix. Els membres de l'àlgebra d'incidència són les funcions f que assigna a cada interval [a, b] un escalar f(a, b). En este conjunt subjacent es definixen l'adició i la multiplicació per escalar punt a punt, i la "multiplicació" en l'àlgebra d'incidència és una convolución definida per

$(f*g)(a,b)=\sum _{a\le x\le b}f(a,x)g(x,b).$

L'element identitat multiplicativa de l'àlgebra d'incidència és

$\delta (a,b)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }a=b\\ 0,& \text{si }a<b\end{array}$

Un àlgebra d'incidència és finito-dimensional si i solament si el poset subjacent és finito.

La funció ζ d'un àlgebra d'incidència és la funció constant ζ(a, b) = 1 per a cada interval [a, b]. Es pot mostrar que eixe element és inversible en l'àlgebra d'incidència (sobre la convolución definida dalt). (Generalment, un membre h de l'àlgebra d'incidència és inversible si i solament si h(x, x) ≠ 0 per a cada x.) l'invers multiplicativo de la funció ζ és la funció de Möbius μ(a, b); cada valor de μ(a, b) és un múltiple integral d'1 en el cos base.

Eixemples

• En cas que el poset localment finito siga el conjunt de tots els número entero positius ordenats per divisibilidad, llavors la seua funció de Möbius és μ(a, b) = μ(b/a), a on el segon "μ" és la clàssica funció de Möbius introduïda en teoria de números en el sigle dèneu.

• El poset localment finito de tots els subconjunts finitos d'algun conjunt I estan ordenats per inclusió. Ací la funció de Möbius és:

$\mu (S,T)=(-1{)}^{\left|S\right|-\left|T\right|}$

whenever S i T són subconjunts finitos de I en S ⊆ T.

• La funció de Möbius en el conjunt d'número entero no negatius en la seua orde usual és:

$\mu (x,y)=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }x=y,\\ -1& \text{si }x+1=y,\\ 0& \text{si }x+1<y.\end{array}$

Estos correspon a la seqüència (1, -1, 0, 0, 0...) de coeficients de la série de potències formal d'1 - z, i la funció ζ en este cas correspon a la seqüència dels coeficients (1, 1, 1, 1...) de la série de potències formal (1 - z)^-1 = 1 + z + z² + z³ +.... La funció δ en esta àlgebra d'incidència correspon similarment a la série de potències formal 1.

• Ordene parcialment el conjunt de totes les particions d'un conjunt finito dient σ ≤ τ si σ és una partició més fina que τ. Llavors la funció de Möbius és:

$\mu (\sigma ,\tau )=(-1{)}^{n-r}(2!{)}^{r_3}(3!{)}^{r_4}\cdots ((n-1)!{)}^{r_n}$

a on n és el número de blocs en la partició més fina σ, r és el número de blocs en la partició més grossa τ, i r_i és el número de blocs de τ que conté exactament i blocs de σ.

La característica de Euler

Un poset és acotat si té menor i major elements, que cridem 0 i 1 respectivament (no deuen ser confosos en el zero i l'u del cos base. En este paràgraf, prenem Q). La característica de Euler d'un poset finito acotat és μ(0,1); és sempre un número entero. Este concepte es relaciona en la clàssica Característica de Euler d'un complex de grups.