Forma multilineal

En matemàtiques, donat un anell conmutativo, una funció multilineal és una funció de $n$ arguments de $n$ espais vectorials respectius. Dita funció es caracterisa per respectar la suma de vectores i la multiplicació escalar en qualsevol de les coordenades.

Definició

Siga $R$ un anell conmutativo (per eixemple $R =$ $ℝ$ o $R =$ $ℂ$ ) i $V_{1}, \dots V_{n}, W$ espais vectorials sobre $R$ .

Una funció $V_{1} \times V_{2} \times \dots \times V_{n} \overset{f}{⟶} W$ es diu multilineal si és llineal en cada argument, és dir, per a tot $1 \leq i \leq n$ i para tot $r \in R$ , es complix
$f (x_{1}, \dots, x_{i} + {x_{i}}^{'}, \dots, x_{n}) = f (x_{1}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n}) + f (x_{1}, \dots, {x_{i}}^{'}, \dots, x_{n})$ ,
i,
$f (x_{1}, \dots, r \cdot x_{i}, \dots, x_{n}) = r \cdot f (x_{1}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n})$ .

Es pot demostrar que la colecció de totes les funcions multilineales de $V_{1}, \dots V_{n}$ en $W$ és un $R$ -espai vectorial respecte a les operacions usuals de suma i multiplicació escalar de funcions. Dit espai es denota per $ℳ (V_{1}, \dots, V_{n}; W)$ . Si $V_{1} = \dots = V_{n} = V$ i $W = R$ , l'espai es denota per $ℳ_{n} (V; R)$ .

Funcions multilineales especials

Siga $V$ un $R$ -espai vectorial i $f \in ℳ_{n} (V; R)$ , és dir, $\underset{n -veces}{\underset{⏟}{V \times \dots \times V}} \overset{f}{⟶} R$ . En àlgebra abstracta a una funció com $f$ se li crida tensor i el conjunt de tensors de $n$ arguments sobre l'espai vectorial $V$ es denota per $𝒯_{n} (V)$ . En atres paraules, $𝒯_{n} (V) = ℳ_{n} (V; R)$ .

Es pot demostrar que:

$𝒯_{n} (V) : = ℳ_{n} (V; R) ≅ (\underset{n -veces}{\underset{⏟}{V \otimes \dots \otimes V}})^{*} ≅ \underset{n -veces}{\underset{⏟}{V^{*} \otimes \dots \otimes V^{*}}}$

a on

V^{*}

denota l'espai dual, i

\otimes

denota el producte tensorial.

Tensor simètric

Un tensor $f \in 𝒯_{n} (V)$ es diu simètric si per a cada permutació $π$ del grup simètric $S_{n}$ i qualsevol element $(v_{1}, \dots, v_{n}) \in V \times \dots \times V$ es complix $f (π (v_{1}), \dots, π (v_{n})) = f (v_{1}, \dots, v_{n})$ . El $R$ -espai vectorial de tots els tensors simètrics es denota per $𝒮_{n} (V)$ i òbviament, $𝒮_{n} (V) \subset 𝒯_{n} (V)$ .

Tensor antisimètric

Un tensor $f \in 𝒯_{n} (V)$ es diu antisimètric si per a cada permutació $π$ del grup simètric $S_{n}$ i qualsevol element $(v_{1}, \dots, v_{n}) \in V \times \dots \times V$ es complix $f (π (v_{1}), \dots, π (v_{n})) = (- 1)^{π} f (v_{1}, \dots, v_{n})$ , a on $(- 1)^{π}$ denota el signe de la permutació. El $R$ -espai vectorial de tots els tensors antisimètrics es denota per $𝒜_{n} (V)$ i òbviament, $𝒜_{n} (V) \subset 𝒯_{n} (V)$ .

Tensor alternat

Un tensor $f \in 𝒯_{n} (V)$ es diu alternat si donat $(v_{1}, \dots, v_{n}) \in V \times \dots \times V$ en la particularitat de que $v_{i} = v_{j}$ per a algun parell d'índexs $i \neq j$ , es té que $f (v_{1}, \dots, v_{n}) = 0$ . El $R$ -espai vectorial de tots els tensors alternats es denota per ${𝒜 L}_{n} (V)$ i ${𝒜 L}_{n} (V) \subset 𝒜_{n} (V) \subset 𝒯_{n} (V)$ , és dir, tot tensor alternat és antisimètric. Ademés, quan en l'anell conmutativo $R$ el $2$ és invertible, llavors es té l'igualtat ${𝒜 L}_{n} (V) = 𝒜_{n} (V)$ , és dir, els tensors alternats són exactament els antisimètrics.

Bibliografia

Lezama, O., Quaderns d'Àlgebra, No. 4: Àlgebra Llineal, SAC²: Seminari d'Àlgebra Constructiva, Departament de Matemàtiques, Universitat Nacional de Colòmbia, Sèu Bogotà. https://web.archive.org/web/20130603160516/http://www.matematicas.unal.edu.co/sac2/

Este artícul conté una traducció derivada de «Forma multilineal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.