Multiplicació escalar
En matemàtiques, la multiplicació escalar és una de les operacions bàsiques que definixen un espai vectorial en àlgebra llineal[1][2][3] (o més generalment, un mòdul d'àlgebra abstracta[4][5]). En contexts geomètrics comunes, la multiplicació escalar d'un vector euclidiano real per un número real positiu multiplica la magnitut del vector, sense canviar la seua direcció. El terme "escalar" en sí mateixa es deriva d'este us: un escalar és lo que escala vectores. La multiplicació escalar és la multiplicació d'un vector per un escalar (a on el producte és un vector), i deu distinguir-se del producte intern de dos vectores (a on el producte és un escalar).
Definició
[editar | editar còdic]En general, si K és un camp i V és un espai vectorial sobre K, llavors la multiplicació escalar és una funció de K &xD7; V a V. El resultat d'aplicar esta funció a k en K i v en V es denota kv.[6]
Propietats
[editar | editar còdic]La multiplicació escalar obedix a les següents regles (vector en negreta):
- Aditividad en l'escalar: (c + d)v = cv + dv;
- Aditividad en el vector: c(v + w) = cv + cw;
- Compatibilitat del producte d'escalares en multiplicació escalar: (cd)v = c(dv);
- Compatibilitat del producte d'escalares en multiplicació escalar: 1v = v;
- Multiplicar per 0 dona el vector zero: 0v = 0;
- Multiplicar per −1 dona l'invers aditiu: (−1)v = −v.
Ací, + és la suma en el camp o en l'espai vectorial, segons corresponga; i 0 és l'identitat aditiva en qualsevol. La yuxtaposició indica una multiplicació escalar o l'operació de multiplicació en el camp.
Interpretació
[editar | editar còdic]La multiplicació escalar pot vore's com una operació binaria externa o com una acció del camp en l'espai vectorial. Una interpretació geomètrica de la multiplicació escalar és que estira, o contrau, els vectores per un factor constant. Com a resultat, produïx un vector en la mateixa direcció o oposta al vector original pero de diferent llongitut.[7]
Com a cas especial, V pot prendre's com el propi K i la multiplicació escalar pugues llavors prendre's com simplement la multiplicació en el camp.
Quan V és Kn, la multiplicació escalar és equivalent a la multiplicació de cada component en l'escalar, i pot definir-se com a tal.
La mateixa idea s'aplica si K és un anell conmutativo i V és un mòdul sobre K. K pot inclús ser un anell, pero llavors no hi ha invers aditiu. Si K no és conmutativa, es poden definir les distintes operacions de multiplicació escalar esquerra cv i multiplicació escalar dreta vc.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications, 3rd edició, Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4.
- ↑ Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications, 4th edició, Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6.
- ↑ Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right, 2nd edició, Springer. ISBN 0-387-98258-2.
- ↑ (2004) Abstract Algebra, 3rd edició, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
- ↑ Lang, Serge (2002). Algebra, Springer. ISBN 0-387-95385-X.
- ↑ «Comprehensive List of Algebra Symbols» (en en-us).
- ↑ Weisstein, Eric W.. «Scalar Multiplication» (en en).
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Multiplicación escalar» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.