Tensor antisimètric

En matemàtiques, un tensor antisimètric o antisimètric sobre un subconjunt d'índexs és un tensor que alterna signe (+/-) quan s'intercanvien dos índexs qualssevol del subconjunt.^[1]^[2] Quan un tensor és antisimètric respecte a tots els seus índexs es diu tensor completament antisimètric o simplement tensor anstisimétrico. Per eixemple:

T_{i j k \dots} = - T_{j i k \dots} = T_{j k i \dots} = - T_{k j i \dots} = T_{k i j \dots} = - T_{i k j \dots}

Són condicions que satisfà un tensor antisimètric sobre els seus primers tres índexs.

És important destacar que la condició de antisimetría requerix que en el subconjunt d'índexs respecte als que existix antisimetría, tots els índexs siguen covariants o contravariantes, ya que els tensors subconjunts mixts estan exclosos de la condició de antisimetría. Un camp tensorial covariant completament antisimètric d'orde $k$ pot denominar-se forma diferencial $k$ , i un camp tensorial contravariante completament antisimètric pot denominar-se $k$ -vector.

Tensors antisimètrics i simètrics

Un tensor $𝐀 = A_{i j}$ que és antisimètric en els índexs $i$ i $j$ té la propietat de que la contracció en un tensor $𝐁 = B^{i j}$ que és simètric en els índexs $i$ i $j$ és idénticamente 0:

cont (𝐀 𝐁) = A_{i j} B^{i j} = 0

Per a un tensor general O en components $U_{i j k \dots}$ i un parell d'índexs $i$ i $j,$ O té parts simètriques i antisimètriques definides com:

U_{(i j) k \dots} = \frac{1}{2} (U_{i j k \dots} + U_{j i k \dots})

| || (part simètrica)

U_{[i j] k \dots} = \frac{1}{2} (U_{i j k \dots} - U_{j i k \dots})

|| ||(part antisimètrica).

Es poden donar definicions similars per a atres parells d'índexs. Com sugerix el terme "part", un tensor és la suma de la seua part simètrica i la seua part antisimètrica per a un parell d'índexs donat, com en $U_{i j k \dots} = U_{(i j) k \dots} + U_{[i j] k \dots} .$

Notació

Una notació abreviada per a la antisimetrización es denota en un parell de corchetes. Per eixemple, en dimensions arbitràries, per a un tensor covariant d'orde 2 M, $M_{[a b]} = \frac{1}{2!} (M_{a b} - M_{b a}),$ i per a un tensor covariant d'orde 3 T $T_{[a b c]} = \frac{1}{3!} (T_{a b c} - T_{a c b} + T_{b c a} - T_{b a c} + T_{c a b} - T_{c b a}) .$

En 2 i 3 dimensions qualssevol, es poden escriure com $\begin{matrix} M_{[a b]} & = \frac{1}{2!} δ_{a b}^{c d} M_{c d}, \\ T_{[a b c]} & = \frac{1}{3!} δ_{a b c}^{d e f} T_{d e f} . \end{matrix}$ a on $δ_{a b \dots}^{c d \dots}$ és el delta de Kronecker generalisat, i utilisem la notació d'Einstein per a sumar sobre índexs similars. De forma més general, independentment del número de dimensions, la antisimetrización sobre índexs $p$ pot expressar-se com $T_{[a_{1} \dots a_{p}]} = \frac{1}{p!} δ_{a_{1} \dots a_{p}}^{b_{1} \dots b_{p}} T_{b_{1} \dots b_{p}} .$

En general, tot tensor de ranc 2 pot descompondre's en un parell simètric i antisimètric com: $T_{i j} = \frac{1}{2} (T_{i j} + T_{j i}) + \frac{1}{2} (T_{i j} - T_{j i}) .$

Esta descomposició no és en general certa per als tensors de ranc 3 o més, que tenen simetria més complexes.

Vore també

Matriu antisimètrica

Àlgebra exterior

Símbol de Levi-Civita

Tensor simètric

Referències i notes

↑ (2010) Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ (2005) From Vectors to Tensors, Springer, p. 225. ISBN 978-3-540-22887-5. section §7.

Bibliografia

Penrose, Roger (2007). The Road to Reality, Vintage books. ISBN 0-679-77631-1.
(1973) Gravitation, W.H. Freeman & Co, pp. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.

Enllaços externs

Antisymmetric Tensor – mathworld.wolfram.com

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Tensor antisimétrico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2010) Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[2] (2005) From Vectors to Tensors, Springer, p. 225. ISBN 978-3-540-22887-5. section §7.

[1]

[2]