Tensor mixt

En un camp tensorial, un tensor mixt és aquell tensor que no és ni estrictament covariant ni estrictament contravariante; és dir, a lo manco un dels seus índexs serà un subíndex (covariant) i a lo manco un dels seus índexs serà un superíndex (contravariante).

Un tensor mixt de tipo o valència $(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{N})$, també escrit "tipo (M, N)", en abdós M > 0 i N > 0, és un tensor que té M índexs contravariantes i N índexs covariants. Un tensor d'este tipo pot definir-se com una funció llineal que assigna una tupla (M + N) de M 1-formas i N vectorés a un escalar.

Canvi del tipo de tensor

Artícul principal → Llei de pujar o baixar índexs (tensors).

Considere's el següent octet de tensors relacionats:

$T_{\alpha \beta \gamma },T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },T^{\alpha \beta \gamma }.$

El primer és covariant, l'últim és contravariante i els restants mixts. Notablement, estos tensors es diferencien entre sí per la covarianza/contravarianza dels seus índexs. Un índex contravariante dau d'un tensor es pot reduir usant el tensor mètric g_μν, i un índex covariant dau es pot aumentar usant el tensor mètric invers g^μν. Per lo tant, g_μν podria denominar-se "operador de reducció de l'índex" i g^μν "operador d'elevació de l'índex".

Generalment, el tensor mètric covariant, contret en un tensor de tipo (M, N), produïx un tensor de tipo (M − 1, N + 1), mentres que la seua inversa contravariante, contreta en un tensor de tipo (M, N), produïx un tensor de tipo (M + 1, N − 1).

Eixemples

Com a eixemple, es pot obtindre un tensor mixt de tipo (1, 2) elevant un índex d'un tensor covariant de tipo (0, 3),

$T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }{g}^{\gamma \lambda },$

a on $T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }$ és el mateix tensor que $T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }$, perque

$T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }{\delta }_{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },$

Kronecker δ actua ací com una matriu d'identitat.

Aixina mateix,

$T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }{g}^{\beta \lambda },$

$T_{\alpha }{}^{\lambda ϵ}=T_{\alpha \beta \gamma }{g}^{\beta \lambda }{g}^{\gamma ϵ},$

$T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }{T}^{\alpha \beta \lambda },$

$T^{\alpha }{}_{\lambda ϵ}=g_{\lambda \beta }{g}_{ϵ\gamma }{T}^{\alpha \beta \gamma }.$

Elevar un índex del tensor mètric equival a contraure-ho en el seu invers, obtenint la delta de Kronecker,

$g^{\mu \lambda }{g}_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }={\delta }^{\mu }{}_{\nu },$

per lo que qualsevol versió mixta del tensor mètric serà igual a la delta de Kronecker, que també serà mixta.

Vore també

• Covarianza i contravarianza
• Conveni de suma d'Einstein
• Càlcul de Ricci
• Tensor (definició intrínseca)
• Tensor de dos punts

Bibliografia

• D.C. Kay (1988). Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA). ISBN 0-07-033484-6.
• (1973) «§3.5 Working with Tensors», Gravitation, W.H. Freeman & Co, pp. 85–86. ISBN 0-7167-0344-0.
• R. Penrose (2007). El camí a la realitat: Una guia completa a les lleis de l'univers, Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.