Tensor de dos punts

Un tensor de dos punts (o també vector doble), és un element similar a un tensor que es transformen com un vector sobre cada u dels seus índexs. S'utilisa en mecànica de mijos continus per a passar des de les coordenades de referència inicials ("material") a les coordenades de l'estat del sòlit en un moment donat ("configuració"). Eixemples de la seua utilisació inclouen la teoria de la deformació finita i el primer tensor de tensió de Piola-Kirchhoff.

Com ocorre en moltes aplicacions tensoriales se'ls sol aplicar el conveni de suma d'Einstein. Per a aclarir la seua notació, a sovint s'utilisen índexs en lletres mayúscules per a indicar les coordenades de referència i en lletres minúscules per a les coordenades d'estat. Per lo tant, un tensor de dos punts tindrà un índex en mayúscula i un atre en minúscula; per eixemple, A_jM.

Mecànica contínua

Un tensor convencional pot vore's com una transformació de vectores en un sistema de coordenades a atres vectores en el mateix sistema de coordenades. Pel contrari, un tensor de dos punts transforma vectores d'un sistema de coordenades a un atre sistema de coordenades. És dir, un tensor convencional

$𝐐=Q_{pq}({𝐞}_p\otimes {𝐞}_q)$,

de manera que es transforma activament un vector o en un vector v tal que

$𝐯=𝐐𝐮$

a on v i o es medixen en el mateix espai i la seua representació de coordenades és sobre la mateixa base (denotada per la "i").

Pel contrari, un tensor de dos punts, G, s'escriu com

$𝐆=G_{pq}({𝐞}_p\otimes {𝐄}_q)$

i transforma un vector, O definit en el sistema I, en un vector, v definit en el sistema i com

$𝐯=𝐆𝐔$.

Llei de transformació d'un tensor de dos punts

Suponga's que es tenen dos sistemes de coordenades, un denotat en una comilla i l'atre no, i les components d'un vector es transformen entre ells com

$v{\text{'}}_p=Q_{pq}{v}_q$.

Per a tensors, suponga's que es té que

$T_{pq}(e_p\otimes e_q)$.

un tensor en el sistema $e_i$. En un atre sistema, siga el mateix tensor donat per

$T{\text{'}}_{pq}(e{\text{'}}_p\otimes e{\text{'}}_q)$.

Es pot dir que

$T{\text{'}}_{ij}=Q_{ip}{Q}_{jr}{T}_{pr}$.

Llavors

$T^{\prime }=QT{Q}^{𝖳}$

és la transformació tensorial habitual. Pero un tensor de dos punts entre estos sistemes és simplement

$F_{pq}(e{\text{'}}_p\otimes e_q)$

que es transforma com

$F^{\prime }=QF$.

Vore també

• Tensor mixt
• Covarianza i contravarianza