Teoria de la deformació finita

Archiu:Displacement of a continuum es.svg

Figura 1. Moviment d'un cos continu

Archiu:Continuum body deformation es.svg

Figura 2. Deformació d'un cos continu

En mecànica de mijos continus, la teoria de la deformació finita, també cridada teoria de grans deformacions analisa el comportament dels sòlits front a deformacions i/o rotacions lo suficientment grans com per a invalidar els supòsits inherents a la teoria de la deformació infinitesimal. En este cas, les configuracions no deformades i deformades del mig continu són significativament diferents, lo que requerix una distinció clara entre elles. Este tipo de deformacions són pròpies de materials com elastòmers, plàstics, decorreguts viscosos i, en el camp de la biologia, els teixits blans.

Camp de desplaçament

Artícul principal → Camp de desplaçament (mecànica).

El desplaçament d'un cos pot tindre dos components: un desplaçament rígit i una deformació.

• El desplaçament d'un cos rígit consistix en una translació i/o una rotació simultànees del cos sense canviar la seua forma o tamany.
• La deformació implica el canvi de forma i/o tamany del cos des d'una configuració inicial o no deformada ${\kappa }_0(ℬ)$ a una configuració actual o deformada ${\kappa }_t(ℬ)$ (Figura 1).

Un canvi en la configuració d'un cos continu pot descriure's per mig d'un camp de desplaçament. Un camp de desplaçament és un camp vectorial que descriu tots els vectores de desplaçament de totes les partícules del cos, i que relaciona la configuració deformada en la configuració no deformada. La distància entre dos partícules qualssevol canvia si i solament si s'ha produït una deformació. Si el desplaçament es produïx sense deformació, llavors es tracta del desplaçament d'un cos rígit.

Tensor del gradient de deformació

El tensor del gradient de deformació $𝐅(𝐗,t)=F_{jK}{𝐞}_j\otimes {𝐈}_K$ està relacionat tant en la configuració de referència com en l'actual, expressada segons els vectores unitaris ${𝐞}_j$ i ${𝐈}_K$. Per lo tant, és un tensor de punt a punt.

Es poden definir dos tipos de tensor de gradient de deformació.

Pel supòsit de continuïtat de $\chi (𝐗,t)$, $𝐅$ té el $𝐇={𝐅}^{-1}$ invers, a on $𝐇$ és el tensor de gradient de deformació espacial. Llavors, pel teorema de la funció implícita, el determinant jacobiano $J(𝐗,t)$ deu ser no singular, és dir $J(𝐗,t)=\det 𝐅(𝐗,t)\ne 0$

El tensor del gradient de deformació del material $𝐅(𝐗,t)=F_{jK}{𝐞}_j\otimes {𝐈}_K$ és un tensor de segon orde que representa el gradient de la funció d'aplicació o relació funcional $\chi (𝐗,t)$, que descriu el desplaçament en un mig continu. El tensor de gradient de deformació del material caracterisa la deformació local en un punt material en el vector de posició $𝐗$, és dir, la deformació en punts veïns, transformant (per mig d'una aplicació llineal) un element llineal del material que conecta la configuració de referència de cada punt en la seua configuració actual o deformada, assumint la continuïtat de la funció $\chi (𝐗,t)$, és dir, considerant que és diferenciable respecte a la posició $𝐗$ i al temps $t$, lo que implica que no es produïxen fracturas i que no s'òbrin ni tanquen buits durant la deformació. Aixina, es té que

$\begin{array}{cccc}d𝐱& =\frac{\partial 𝐱}{\partial 𝐗}d𝐗& \text{o }& d{x}_j=\frac{\partial x_j}{\partial X_K}d{X}_K\\ & =\mathrm{\nabla }\chi (𝐗,t)d𝐗& \text{o }& d{x}_j=F_{jK}d{X}_K.\\ & =𝐅(𝐗,t)d𝐗\end{array}$

Vector de desplaçament relatiu

Considere's una partícula o punt material $P$ en el vector de posició $𝐗=X_I{𝐈}_I$ en la configuració no deformada (Figura 2). Despuix d'un desplaçament del cos, la nova posició de la partícula indicada per $p$ en la nova configuració ve donada per la posició del vector $𝐱=x_i{𝐞}_i$. Els sistemes de coordenades per a la configuració deformada i no deformada es poden superpondre si aixina convé.

Considere's ara un punt material $Q$ veí de $P$, en vector de posició $𝐗+\Delta 𝐗=(X_I+\Delta X_I){𝐈}_I$. En la configuració deformada, esta partícula té una nova posició $q$ donada pel vector de posició $𝐱+\Delta 𝐱$. Suponent que els segments de llínea $\Delta X$ i $\Delta 𝐱$ que unixen les partícules $P$ i $Q$ en la configuració no deformada i deformada, respectivament, són molt menuts, llavors es pot expressar-los com $d𝐗$ i $d𝐱$. Aixina, de la Figura 2 es deduïx que

$\begin{array}{cc}𝐱+d𝐱& =𝐗+d𝐗+𝐮(𝐗+d𝐗)\\ d𝐱& =𝐗-𝐱+d𝐗+𝐮(𝐗+d𝐗)\\ & =d𝐗+𝐮(𝐗+d𝐗)-𝐮(𝐗)\\ & =d𝐗+d𝐮\\ \end{array}$

a on $𝐝𝐮$ és el vector de desplaçament relatiu, que representa el moviment del punt $Q$ sobre $P$ en la configuració deformada.

Aproximació de Taylor

Per a un element infinitesimal $d𝐗$, i suponent la continuïtat en el camp de desplaçament, és possible utilisar una série de Taylor al voltant del punt $P$, despreciant térmens d'orde superior, per a aproximar les components del vector de desplaçament relatiu per a la partícula veïna $Q$ com

$\begin{array}{cccc}𝐮(𝐗+d𝐗)& =𝐮(𝐗)+d𝐮& \text{o }& u_i^{*}=u_i+d{u}_i\\ & \approx 𝐮(𝐗)+{\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮\cdot d𝐗& \text{o }& u_i^{*}\approx u_i+\frac{\partial u_i}{\partial X_J}d{X}_J.\end{array}$

Aixina, l'equació anterior $d𝐱=d𝐗+d𝐮$ es pot escriure com

$\begin{array}{cc}d𝐱& =d𝐗+d𝐮\\ & =d𝐗+{\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮\cdot d𝐗\\ & =(𝐈+{\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮)d𝐗\\ & =𝐅d𝐗\end{array}$

Derivada respecte al temps del gradient de deformació

Els càlculs que impliquen la deformació d'un cos depenent del temps a sovint requerixen que es calcule una derivada respecte al temps del gradient de deformació. Una definició geomètricament consistent de dita derivada requerix una incursió en la geometria diferencial, encara que en el present artícul no es considera este tipo de problemes.

La derivada respecte al temps de $𝐅$ és

$\dot{𝐅}=\frac{\partial 𝐅}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial 𝐱(𝐗,t)}{\partial 𝐗}\right]=\frac{\partial }{\partial 𝐗}\left[\frac{\partial 𝐱(𝐗,t)}{\partial t}\right]=\frac{\partial }{\partial 𝐗}[𝐕(𝐗,t)]$

a on $𝐕$ és la velocitat de deformació del material, per lo que la derivada del costat dret representa el gradient de la velocitat del material. És comú convertir-ho en un gradient espacial aplicant la regla de la cadena de les derivades, és dir,

$\dot{𝐅}=\frac{\partial }{\partial 𝐗}[𝐕(𝐗,t)]=\frac{\partial }{\partial 𝐗}[𝐯(𝐱(𝐗,t),t)]={\frac{\partial }{\partial 𝐱}[𝐯(𝐱,t)]|}_{𝐱=𝐱(𝐗,t)}\cdot \frac{\partial 𝐱(𝐗,t)}{\partial 𝐗}=𝒍\cdot 𝐅$

a on $𝒍=({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐯{)}^T$ és el gradient de la velocitat espacial i a on $𝐯(𝐱,t)=𝐕(𝐗,t)$ és la velocitat espacial (euleriana) en $𝐱=𝐱(𝐗,t)$. Si el gradient de la velocitat espacial és constant en el temps, l'equació anterior es pot resoldre exactament per a obtindre

$𝐅=e^{𝒍t}$

suponent que $𝐅=\mathrm{𝟏}$ en $t=0$. Existixen varis métodos per a calcular el valor exponencial anterior.

Cantitats relacionades que s'utilisen a sovint en mecànica contínua són el tensor de velocitat de deformació i el tensor de gir definits, respectivament, com:

$𝒅=\frac{1}{2}(𝒍+{𝒍}^T),𝒘=\frac{1}{2}(𝒍-{𝒍}^T).$

El tensor de velocitat de deformació proporciona la velocitat de estiramiento dels elements llineals, mentres que el tensor d'espin indica la velocitat de rotació o vorticidad del moviment.

La derivada material-temps de l'inversa del gradient de deformació (mantenint fixa la configuració de referència) a sovint es requerix en anàlisis que involucren deformacions finitas. Esta derivada és

$\frac{\partial }{\partial t}\left({𝐅}^{-1}\right)=-{𝐅}^{-1}\cdot \dot{𝐅}\cdot {𝐅}^{-1}.$

La relació anterior es pot verificar prenent la derivada respecte al temps del material de ${𝐅}^{-1}\cdot d𝐱=d𝐗$ i observant que $\dot{𝐗}=0$.

Descomposició polar del tensor de gradient de deformació

Archiu:Polar decomposition of F es.png

Figura 3. Representació de la descomposició polar del gradient de deformació

El gradient de deformació $𝐅$, com qualsevol tensor invertible de segon orde, es pot descompondre (utilisant la teorema de descomposició polar) en un producte de dos tensors de segon orde (Truesdell i Noll, 1965): un tensor ortogonal i un tensor simètric definit positiu, és dir,

$𝐅=𝐑𝐔=𝐕𝐑$

a on el tensor $𝐑$ és un tensor ortogonal propi, és dir, ${𝐑}^{-1}={𝐑}^T$ i $\det 𝐑=+1$, que representen una rotació; el tensor $𝐔$ és el tensor de estiramiento dret; i $𝐕$ el tensor de estiramiento esquerre. Els térmens dreta i esquerra signifiquen que estan a la dreta i esquerra del tensor de rotació $𝐑$, respectivament. $𝐔$ i $𝐕$ són abdós matrius definides positives, és dir, $𝐱\cdot 𝐔\cdot 𝐱>0$ i $𝐱\cdot 𝐕\cdot 𝐱>0$ per a tots els $𝐱\in {ℝ}^3$ distints de zero, i tensors simètrics, és dir, $𝐔={𝐔}^T$ i $𝐕={𝐕}^T$, de segon orde.

Esta descomposició implica que la deformació d'un element llineal $d𝐗$ en la configuració no deformada sobre $d𝐱$ en la configuració deformada, és dir, $d𝐱=𝐅d𝐗$, es pot obtindre estirant primer l'element en $𝐔$, és dir, $d{𝐱}^{\prime }=𝐔d𝐗$, seguit d'una rotació $𝐑$, és dir, $d{𝐱}^{\prime }=𝐑d𝐱$; o de manera equivalent, aplicant primer una rotació rígida $𝐑$, és dir, $d{𝐱}^{\prime }=𝐑d𝐗$, seguida a continuació d'un estiramiento $𝐕$, és dir, $d{𝐱}^{\prime }=𝐕d𝐱$ (vore la Figura 3).

Per la ortogonalidad de $𝐑$

$𝐕=𝐑\cdot 𝐔\cdot {𝐑}^T$

de modo que $𝐔$ i $𝐕$ tenen els mateixos autovalores o deformacions principals, pero diferents vectores propis o direccions principals ${𝐍}_i$ i ${𝐧}_i$, respectivament. Les direccions principals estan relacionades per

${𝐧}_i=𝐑{𝐍}_i.$

Esta descomposició polar, que és única ya que $𝐅$ és invertible en un determinant positiu, és un corolari de la descomposició en valors singulars.

Transformació d'un element de superfície i volum

Per a transformar cantitats definides sobre àrees en una configuració deformada a aquelles relatives a àrees en una configuració de referència, i viceversa, s'usa la relació de Nanson, expressada com

$da𝐧=JdA{𝐅}^{-T}\cdot 𝐍$

a on $da$ és un àrea d'una regió en la configuració deformada, $dA$ és la mateixa àrea en la configuració de referència, i $𝐧$ és la normal exterior a l'element d'àrea en la configuració actual, mentres que $𝐍$ és la normal exterior en la configuració de referència, $𝐅$ és el gradient de deformació i $J=\det 𝐅$.

La fòrmula corresponent per a la transformació de l'element de volum és:$dv=JdV$

Vore també

• Tensió infinitesimal
• Compatibilitat (mecànica)
• Coordenades curvilíneas
• Tensor tensió de Piola-Kirchhoff, el tensor de tensions per a deformacions finitas.
• Mides de tensió
• Partició de deformacions
• Mecànica puntual