Coordenades curvilíneas

Archiu:Curvilinear.svg

Sistemes de coordenades en l'espai bidimensional: curvilíneo (dalt), cartesiano (esquerra), i afí (dreta)

En geometria, les coordenades curvilíneas són sistemes de referència utilisats en l'espai euclídeo, en els que les llínees que definixen les coordenades poden ser curves. Estes coordenades es poden obtindre a partir d'un conjunt de coordenades cartesianas per mig de l'us de transformacions que són localment invertibles (aplicacions un a un) en cada punt. Açò significa que es pot convertir un punt donat en un sistema de coordenades cartesiano a les seues coordenades curvilíneas i viceversa. El nom de coordenades curvilíneas, falcat pel matemàtic francés Gabriel Lamé (1795-1870), deriva del fet de que les llínees de referència d'estos sistemes són curves.

Eixemples ben coneguts de sistemes de coordenades curvilíneas en l'espai euclídeo tridimensional (R³) són les coordenades cilíndriques i les esfèriques. Un eixemple de superfície definida en coordenades cartesianas en este espai és un pla coordenado, de manera que quan (z = 0), es definix el pla (x-i). En el mateix espai, la superfície de coordenades (r = 1) en coordenades esfèriques és la superfície d'una esfera unitària, que és una superfície curva. La formalisació dels sistemes de coordenades curvilíneas proporciona una descripció general i unificada dels distints sistemes de referència.

Les coordenades curvilíneas s'utilisen a sovint per a definir l'ubicació o la distribució de cantitats físiques que poden ser, per eixemple, escalares, vectorés o tensorés. Les expressions matemàtiques que involucren estes cantitats en el càlcul vectorial i en el càlcul tensorial (com el gradient, la divergència, el rotacional i o el laplaciano) es poden transformar d'un sistema de coordenades a un atre, d'acort en les regles de transformació para escalares, vectores i tensors. Estes expressions es tornen vàlides per a qualsevol sistema de coordenades curvilíneo.

Un sistema de coordenades curvilíneo pot ser més senzill d'utilisar que el sistema de coordenades cartesiano per a algunes aplicacions. El moviment de partícules baix l'influència d'una força central sol ser més fàcil de resoldre en coordenades esfèriques que en coordenades cartesianas, lo que també és cert per a molts problemes físics en simetria esfèrica definits en R³. Les equacions en condiciones de contorn que seguixen superfícies de coordenades per a un sistema de coordenades curvilíneo particular poden ser més fàcils de resoldre en eixe sistema. Si be es podria descriure el moviment d'una partícula en una caixa rectangular usant coordenades cartesianas, és més fàcil descriure el moviment sobre una esfera en coordenades esfèriques. Les coordenades esfèriques són els sistemes de coordenades curvilíneas més comunes i s'utilisen en ciències de la Terra, cartografia, mecànica quàntica, teoria de la relativitat i ingenieria.

Coordenades curvilíneas ortogonals en tres dimensions

Coordenades, bases i vectores

Archiu:General curvilinear coordinates 1 es.svg

Fig. 1 - Superfícies de coordenades, llínees de coordenades i eixos de coordenades de sistemes de coordenades curvilíneos generals

Archiu:Spherical coordinate elements es.svg

Fig. 2 - Superfícies de coordenades, llínees de coordenades i eixos de coordenades d'un sistema de coordenades esfèriques. Superfícies: r - esferes, θ - cons, Φ - semiplanos; Llínees: r - fas de rectes, θ - semicírculs verticals, Φ - círculs horisontals; Eixos: r - fas de rectes, θ - tangentes a semicírculs verticals, Φ - tangentes a círculs horisontals

Per ara, es considera l'espai tridimensional. Un punt P en l'espai 3-D (o la seua posició r) es pot definir usant coordenades cartesianas (x, i, z) [escrit de manera equivalent (x¹, x², x³)], per $𝐫=x{𝐞}_x+y{𝐞}_y+z{𝐞}_z$, a on i_x, i_i, i_z són els vectores de la base canònica.

També pot definir-se per les seues coordenades curvilíneas (q¹, q², q³) si este triplet de números definix un únic punt de forma inequívoca. La relació entre les coordenades ve donada per les funcions de transformació reversibles:

$x=f^1(q^1,q^2,q^3),y=f^2(q^1,q^2,q^3),z=f^3(q^1,q^2,q^3)$

$q^1=g^1(x,y,z),q^2=g^2(x,y,z),q^3=g^3(x,y,z)$

Les superfícies q¹ = constant, q² = constant, q³ = constant es denominen superfícies de coordenades; i les curves espacials formades per la seua intersecció dos a dos es denominen curves de coordenades. Els eixos de coordenades estan determinats per les tangentes a les curves de coordenades en l'intersecció de tres superfícies. En general, no són direccions fixes en l'espai, com ocorre en les coordenades cartesianas simples i, per lo tant, generalment no existix una base global natural per a les coordenades curvilíneas.

En el sistema cartesiano, els vectores d'una base estàndar es poden deduir de la derivada de l'ubicació del punt P sobre la coordenada local

${𝐞}_x=\frac{\partial 𝐫}{\partial x};{𝐞}_y=\frac{\partial 𝐫}{\partial y};{𝐞}_z=\frac{\partial 𝐫}{\partial z}.$

Aplicant les mateixes derivades al sistema curvilíneo localment en el punt P es definixen els vectores de la base natural:

${𝐡}_1=\frac{\partial 𝐫}{\partial q^1};{𝐡}_2=\frac{\partial 𝐫}{\partial q^2};{𝐡}_3=\frac{\partial 𝐫}{\partial q^3}.$

Una base d'este tipo, que els seus vectores canvien la seua direcció i/o magnitut d'un punt a un atre, es denomina base local. Totes les bases associades en coordenades curvilíneas són necessàriament locals. Els vectores de la base que són iguals en tots els punts són bases globals i solament poden associar-se en sistemes de coordenades llineals o afins.

Per a este artícul, la notació i està reservada per a la base canònica (cartesiana) i h o b s'assignen a les bases curvilíneas.

És possible que no tinguen llongitut unitat i que tampoc siguen ortogonals. En el cas de que siguen ortogonals en tots els punts a on les derivades estan ben definides, es definixen els coeficients de Lamé

(en referència a Gabriel Lamé) per

$h_1=|{𝐡}_1|;h_2=|{𝐡}_2|;h_3=|{𝐡}_3|$

i els vectores d'una base ortonormal curvilínea per

${𝐛}_1=\frac{{𝐡}_1}{h_1};{𝐛}_2=\frac{{𝐡}_2}{h_2};{𝐛}_3=\frac{{𝐡}_3}{h_3}.$

Estos vectores de la base també poden dependre de la posició de P; i per lo tant, és necessari que no se suponga que són constants en una regió (tècnicament, formen una base per a fibrados tangentes de ${ℝ}^3$ en P i, per lo tant, són locals per a cada punt P).

En general, les coordenades curvilíneas permeten que els vectores de la base natural h_i no siguen tots mútuament perpendiculars entre sí, i no és necessari que siguen de llongitut unitat: poden ser de magnitut i direcció arbitràries. Pero l'us d'una base ortogonal fa que les manipulacions vectorials siguen més simples que en el cas de les bases no ortogonals. No obstant, algunes àrees de la física i de l'ingenieria, particularment la mecànica de decorreguts i la mecànica de mijos continus, requerixen bases no ortogonals per a descriure deformacions i transport de decorreguts, en la finalitat de tindre en conte complexes dependències direccionals de cantitats físiques. Una discussió del cas general apareix més alvance en esta pàgina.

Càlcul vectorial

Vore també: Geometria diferencial

Elements diferencials

En coordenades curvilíneas ortogonals, ya que el canvi diferencial total en r és

$d𝐫=\frac{\partial 𝐫}{\partial q^1}d{q}^1+\frac{\partial 𝐫}{\partial q^2}d{q}^2+\frac{\partial 𝐫}{\partial q^3}d{q}^3=h_{1}d{q}^1{𝐛}_1+h_{2}d{q}^2{𝐛}_2+h_{3}d{q}^3{𝐛}_3$

llavors els factors d'escala són $h_i=\left|\frac{\partial 𝐫}{\partial q^i}\right|$

En coordenades no ortogonals, la llongitut de $d𝐫=d{q}^1{𝐡}_1+d{q}^2{𝐡}_2+d{q}^3{𝐡}_3$ és la raïl quadrada positiva de $d𝐫\cdot d𝐫=d{q}^{i}d{q}^j{𝐡}_i\cdot {𝐡}_j$ (segons el conveni de suma d'Einstein). Els sis productes escalares independents g_ij=h_i.h_j dels vectores de la base natural generalisen els tres factors d'escala definits anteriorment per a coordenades ortogonals. Els nou g_ij són les components del tensor mètric, que té solament tres components distintes de zero en coordenades ortogonals: g₁₁=h₁h₁, g ₂₂=h₂h₂, g₃₃=h₃h₃.