Diferencial d'una funció

En càlcul, la diferencial representa la partix principal del canvi en una funció $y=f(x)$ sobre els canvis en la variable independent. La diferencial $dy$ es definix com $$dy=f^{\prime }(x),dx,$$ a on $f^{\prime }(x)$ és la derivada de f sobre $x$, i $dx$ és una variable real adicional (de modo que $dy$ és una funció de $x$ i $dx$). La notació és tal que l'equació $$dy=\frac{dy}{dx},dx$$ es complix, a on la derivada es representa en la notació de Leibniz $dy/dx$, la qual cosa és consistent en considerar la derivada com el cocient de les diferencials. També s'escriu $$df(x)=f^{\prime }(x),dx.$$ El significat precís de les variables $dy$ i $dx$ depén del context de l'aplicació i del nivell requerit de rigor matemàtic. El domini d'estes variables pot adquirir un significat geomètric particular si la diferencial es considera com una forma diferencial específica, o un significat analític si la diferencial es considera com una aproximació llineal a l'increment d'una funció. Tradicionalment, les variables $dx$ i $dy$ es consideren molt chicotetes (infinitesimals), i esta interpretació es fa rigorosa en l'anàlisis no estàndar.

Història i us

La diferencial va ser introduïda per primera volta a través d'una definició intuïtiva o heurística per Isaac Newton i desenrollada per Gottfried Leibniz, qui pensava en la diferencial dy com un canvi infinitament chicotet (o infinitesimal) en el valor i de la funció, corresponent a un canvi infinitament chicotet dx en l'argument x de la funció. Per eixa raó, la taxa de canvi instantànea de i sobre x, que és el valor de la derivada de la funció, es denota per mig de la fracció $$\frac{dy}{dx}$$ en lo que es diu la notació de Leibniz para derivades. El cocient $dy/dx$ no és infinitament menut; més be és un número real. L'us d'infinitesimals en esta forma va ser àmpliament criticat, per eixemple, en el famós panflet L'analiste del bisbe Berkeley. Augustin-Louis Cauchy (1823) va definir la diferencial sense recórrer a l'atomisme dels infinitesimals de Leibniz. En el seu lloc, Cauchy, seguint a d'Alembert, va invertir l'orde llògic de Leibniz i els seus successors: la derivada mateixa es va convertir en l'objecte fonamental, definit com un llímit de cocients de diferències, i les diferencials es varen definir després en térmens d'ella. És dir, un era lliure de definir la diferencial $dy$ per mig d'una expressió $$dy=f^{\prime }(x),dx$$ en la que $dy$ i $dx$ són simplement variables noves que prenen valors reals finitos, no infinitesimals fixos com lo havien segut para Leibniz.

Segons Boyer (1959, p. 12), l'enfocament de Cauchy va ser una millora llògica significativa sobre l'enfocament infinitesimal de Leibniz perque, en lloc d'invocar la noció metafísica dels infinitesimals, les cantitats $dy$ i $dx$ ara podien manipular-se exactament de la mateixa manera que qualsevol atra cantitat real de forma significativa. L'enfocament conceptual general de Cauchy cap a les diferencials seguix sent l'estàndart en els tractaments analítics moderns, encara que l'última paraula sobre el rigor, una noció plenament moderna de llímit, es va deure en última instància a Karl Weierstrass. En els tractaments físics, com els aplicats a la teoria de la termodinàmica, la visió infinitesimal encara preval. Courant y John (1999, p. 184) concilien l'us físic de les diferencials infinitesimals en l'impossibilitat matemàtica de les mateixes de la següent manera: les diferencials representen valors finitos no nuls que són menors que el grau de precisió requerit per al propòsit particular al que estan destinats. Per lo tant, els "infinitesimals físics" no necessiten recórrer a un infinitesimal matemàtic corresponent per a tindre un sentit precís. Despuix dels desenrolls del sigle XX en anàlisis matemàtic i geometria diferencial, va quedar clar que la noció de la diferencial d'una funció podia estendre's de diverses maneres. En anàlisis real, és més desijable tractar directament en la diferencial com la part principal de l'increment d'una funció. Açò conduïx directament a la noció de que la diferencial d'una funció en un punt és un funcional llineal d'un increment $\Delta x$. Este enfocament permet desenrollar la diferencial (com una aplicació llineal) per a una varietat d'espais més sofisticats, donant lloc en última instància a nocions com la Fréchet o la derivada de Gateaux. Aixina mateix, en geometria diferencial, la diferencial d'una funció en un punt és una funció llineal d'un vector tangente (un "desplaçament infinitament menut"), lo que la presenta com una espècie de forma un: la derivada exterior de la funció. En el càlcul no estàndar, les diferencials es consideren infinitesimals, els quals poden assentar-se sobre una base rigorosa (vore diferencial (infinitesimal)).

Definició

Archiu:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png

La diferencial d'una funció $f(x)$ en un punt $x_0$.

La diferencial es definix en els tractaments moderns del càlcul diferencial de la següent manera. La diferencial d'una funció $f(x)$ d'una sola variable real $x$ és la funció $df$ de dos variables reals independents $x$ i $\Delta x$ donada per $$df(x,\Delta x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{f}^{\prime }(x),\Delta x.$$

U o abdós arguments poden ometre's, és dir, es pot vore $df(x)$ o simplement $df$. Si $y=f(x)$, la diferencial també es pot escriure com $dy$. Com $dx(x,\Delta x)=\Delta x$, és convencional escriure $dx=\Delta x$ per a que es complixca la següent igualtat: $$df(x)=f^{\prime }(x),dx$$ Esta noció de diferencial és àmpliament aplicable quan es busca una aproximació llineal a una funció, en la que el valor de l'increment $\Delta x$ és lo suficientment menut. Més precisament, si $f$ és una funció diferenciable en $x$, then la diferència en els valors de $y$ $$\Delta y\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f(x+\Delta x)-f(x)$$ satisfà $$\Delta y=f^{\prime }(x),\Delta x+\epsilon =df(x)+\epsilon ,$$ a on l'error $\epsilon$ en l'aproximació satisfà $\epsilon /\Delta x\to 0$ quan $\Delta x\to 0$. En atres paraules, es té l'identitat aproximada $$\Delta y\approx dy$$

en la qual l'error pot fer-se tan chicotet com es desige en relació en $\Delta x$ restringint $\Delta x$ per a que siga lo suficientment menut; és dir, $$\frac{\Delta y-dy}{\Delta x}\to 0$$ quan $\Delta x\to 0$. Per esta raó, la diferencial d'una funció es coneix com la part (llineal) principal de l'increment d'una funció: la diferencial és una funció llineal de l'increment $\Delta x$, i encara que l'error $\epsilon$ pot ser no llineal, tendix a zero ràpidament a mida que $\Delta x$ tendix a zero.