Força central

Una força central és una força que està dirigida a lo llarc d'una recta radial a un centre fix i la magnitut del qual només depén de la coordenada radial $r$:

$𝐅=F(𝐫)\widehat{𝐫}$

a on $\widehat{𝐫}$ és un vector unitari dirigit radialment des de l'orige.

El vector força és sempre paralel al vector posició.

L'orige creador de la força es denomina centre del moviment.

Propietats

Una força central és casi sempre una força conservativa. Les forces conservativas no depenen del temps i complixen que el seu rotacional és nul i que es poden expressar com el gradient del seu potencial en el signe canviat:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅(𝐫)=0$

$𝐅(𝐫)=-\mathrm{\nabla }V(𝐫)$

En els camps de forces centrals el moment angular es conserva:

$𝐋=𝐫\times m\dot{𝐫}=\text{ constante}$

Açò es deu a que el moment de forças és nul ($𝝉=𝐫\times 𝐅=0$), ya que el vector força és sempre paralel al vector posició. Com a conseqüència, el cos que sofrix la força es mou en un pla. Ademés, si el moment angular és zero, el cos descriu un moviment rectilíneo a través de la recta que ho unix en l'orige, l'acceleració del qual no és constant.

Eixemples

Els casos més familiars de forces centrals són les forces de la gravetat i l'electrostàtica, abdós eixemples de forces proporcionals a l'inversa del quadrat de la distància: $F(r)\propto 1/r^2$. Un atre eixemple és el del oscilador harmònic, en $F(r)\propto r$ i en signe negatiu.

Ademés, el teorema de Bertrand demostra que les forces de tipo $F(r)=-k/r^2$ i $F(r)=-kr$ són les úniques forces centrals que produïxen òrbites tancades estables.