Oscilador harmònic

Es diu que un sistema qualsevol, mecànic, elèctric, neumàtic, etc., és un oscilador harmònic si, quan es deixa en llibertat fòra de la seua posició d'equilibri, torna cap a ella descrivint oscilacions sinusoidals, o sinusoidals amortiguadas entorn a dita posició estable.

La massa penjada del resort forma un oscilador harmònic.

L'eixemple és el d'una massa penjada a un resort. Quan s'allunta la massa de la seua posició de repòs, el resort eixercix sobre la massa una força que és proporcional al desequilibri (distància a la posició de repòs) i que està dirigida cap a la posició d'equilibri. Si se solta la massa, la força del resort accelera la massa cap a la posició d'equilibri. A mida que la massa s'acosta a la posició d'equilibri i que aumenta el seu velocitat, l'energia potencial elàstica del resort es transforma en energia cinètica de la massa. Quan la massa aplega a la seua posició d'equilibri, la força serà zero, pero com la massa està en moviment, continuarà i passarà de l'atre costat. La força s'invertix i comença a frenar la massa. L'energia cinètica de la massa va transformant-se ara en energia potencial del resort fins que la massa es para. Llavors este procés torna a produir-se en direcció oposta completant una oscilació.

Si tota l'energia cinètica es transformara en energia potencial i viceversa, l'oscilació seguiria eternament en la mateixa amplitut. En la realitat, sempre hi ha una part de l'energia que es transforma en una atra forma, per la viscosidad de l'aire o perque el resort no és perfectament elàstic. Aixina que, l'amplitut del moviment disminuirà més o menys llentament en el pas del temps. S'escomençarà tractant el cas ideal, en el qual no hi ha pèrdues. S'analisarà el cas unidimensional d'un únic oscilador (per a la situació en varis osciladors, vore moviment harmònic complex).

Casos

Oscilador harmònic sense pèrdues

Artícul principal → Moviment harmònic simple.

Es denominarà $y$ a la distància entre la posició d'equilibri i la massa, a la que se li dominara $m$ . Se supondrà que la força del resort és estrictament proporcional al desequilibri: $F = - k y$ (llei de Hooke). $F$ és la força i $k$ la constant elàstica del resort. El signe negatiu indica que quan $y$ és positiva la força està dirigida cap a les $y$ negatives.

La segona llei de Newton nos diu:

remplazando la força obtenim:

La solució d'esta equació diferencial ordinària és immediata: les úniques funcions reals (no complexes) que la seua segona derivada és la mateixa funció en el signe invertit són sen i coseno. Les dos funcions corresponen al mateix moviment. Triem arbitrariamente «coseno». La solució s'escriu:

La curva de dalt dona la posició de l'oscilador en funció del temps. La del mig dona la velocitat. Avall estan les curves de les energies. En blau està l'energia cinètica 12mv2 i en roig l'energia potencial del resort 12ky2 — La curva de dalt dona la posició de l'oscilador en funció del temps. La del mig dona la velocitat. Avall estan les curves de les energies. En blau està l'energia cinètica $\frac{1}{2} m v^{2}$ i en roig l'energia potencial del resort $\frac{1}{2} k y^{2}$

$y = A \cos (ω t + ϕ)$
Símbol	Nom
$y$	Elongació o diferència respecte a l'estat d'equilibri
$A$	Amplitut, màxima diferència respecte a la posició d'equilibri
$ω$	Pulsació (o freqüència angular)
$f$	Freqüència
$t$	Temps
$ϕ$	Fase inicial (per a $t = 0$ )

$ω = 2 π f$

És fàcil comprovar que el valor de $ω$ és: $ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$ El periodo d'oscilació és: $T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$

Com ya hem dit, durant un quarto d'una oscilació l'energia potencial es transforma en energia cinètica. Durant un atre quarto, l'energia cinètica es transforma en energia potencial. En la figura de la dreta s'ha traçat la posició en funció del temps (curva de dalt), la velocitat en funció del temps (en mig) i les energies potencials i cinètiques (avall).

Oscilador harmònic amortiguado

Oscilador harmònic en esmortidor. La força viscosa és proporcional a la velocitat.

És el cas de rozamientos secs: la força no depén ni de la velocitat ni de la posició. Una atra situació que es produïx en la realitat és que la força siga proporcional a la velocitat elevada a una potencia, sancera o no. Aixina succeïx quan la força que frena prové de la viscosidad o de les pèrdues aerodinàmicas. Es tractarà únicament el cas més simple, és dir, quan la força siga proporcional a la velocitat. En este cas la força serà:

F_{f} = - b v = - b \frac{d y}{d t}

A on $b$ és un coeficient que medix el amortiguamiento per la viscosidad. Si $b$ és menut, el sistema està poc amortiguado. Note's el signe negatiu que indica, com abans, que si la velocitat és positiva, la força té la direcció superior oposta a la velocitat de la partícula. En este terme complementari l'equació diferencial del sistema és:

m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = - k y - b \frac{d y}{d t}

Es tracta d'una equació diferencial ordinària, llineal, de segon orde^[1] (conté derivades segones) i homogénea (no hi ha terme independent de $y$ ). Té tres tipos de solucions segons el valor de $b^{2} - 4 k m$ :

Si $b^{2} - 4 k m > 0$ el sistema està sobreamortiguado (amortiguamiento fort o supercrítico)
Si $b^{2} - 4 k m = 0$ el sistema té amortiguamiento crític.
Si $b^{2} - 4 k m < 0$ el sistema oscila en amplitut decreixent (amortiguamiento dèbil o subcrítico)

Oscilador sobreamortiguado

Posició en funció del temps d'un oscilador harmònic amortiguado. curva blava: amortiguamiento crític. curva roja: amortiguamiento doble que el crític. curva verda: amortiguamiento igual a 90% del amortiguamiento crític.

Posició en funció del temps d'un oscilador harmònic amortiguado.

curva blava: amortiguamiento crític.
curva roja: amortiguamiento doble que el crític.
curva verda: amortiguamiento igual a 90% del amortiguamiento crític.

En este cas el sistema no és realment un oscilador, ya que no oscila. La solució és de la forma:

y = A_{1} e^{λ_{1} t} + A_{2} e^{λ_{2} t}

a on els coeficients de les exponencials són menors que zero i reals (per lo que no hi ha oscilació):

λ_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 k m}}{2 m}

i

λ_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 k m}}{2 m}

$A_{1}$ i $A_{2}$ depenen de les condicions inicials (és dir, de la situació del sistema per a $t = 0$ ). La posició no és oscilante i tendix cap a la posició d'equilibri de manera asintòtica. Les dos exponencials decreixents de les solucions tenen constants de temps diferents. Una és menuda $1 / λ_{1}$ i correspon a la ràpida cancelació de l'efecte de la velocitat inicial. La segona $1 / λ_{2}$ és més gran i descriu la llenta tendència cap a la posició d'equilibri.

Oscilador en amortiguamiento crític

Este cas és el llímit entre un sistema oscilante i un no oscilante. Ocorre quan

b^{2} = 4 k m

La solució única és:

y = A_{1} e^{- \frac{b}{2 m} t} + A_{2} t e^{- \frac{b}{2 m} t}

com abans, $A_{1}$ i $A_{2}$ són constants que depenen de les condicions inicials.

El amortiguamiento crític correspon a la tendència més ràpida cap a la situació d'equilibri quan no sobrepassa eixa posició. Si es disminuïx una miqueta el amortiguamiento el sistema s'acosta més ràpidament a la posició d'equilibri, pero sobrepassant la posició oscila entorn a eixe punt (prenent valors positius i negatius).

Oscilador en amortiguamiento dèbil

Oscilacions amortiguadas. L'amplitut de la sinusoide està controlada per l'exponencial.

En este cas, que és més interessant, tenim un oscilador que oscila al voltant de la posició d'equilibri en amplitut decreixent. Succeïx quan:

b^{2} < 4 k m

La solució és:

y = A e^{- \frac{b}{2 m} t} \cos (ω t + ϕ)

com abans, $A$ i $ϕ$ són constants que depenen de les condicions inicials. La pulsació és:

ω = \sqrt{\frac{k}{m} - {(\frac{b}{2 m})}^{2}}

La pulsació del sistema amortiguado és una miqueta menor que la pulsació del sistema no amortiguado $ω_{\circ} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ perque la força que lo amortigua, frena la massa i la retarda.

L'oscilació del sistema està descrita per una sinusoide de freqüència $f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m} - {(\frac{b}{2 m})}^{2}}$ l'amplitut de la qual està multiplicada per una exponencial decreixent que la seua constant de temps és $τ = \frac{2 m}{b}$ .

Factor de calitat Q

En un sistema poc amortiguado és convenient definir el factor de calitat' (Quality factor en anglés), denotat per Q, com:

Q = \frac{\sqrt{k m}}{b} .

Esta cantitat és igual a $2 π$ voltes l'invers de les pèrdues relatives d'energia per periodo. Aixina, un sistema que pert 1% d'energia a cada cicle, tindrà un Q de 628. Més interessant, Q és també $π$ voltes el número d'oscilacions que el sistema fa mentres la seua amplitut decreix per un factor $e$ . Acceptant una aproximació més burda, Q és 3 voltes el número d'oscilacions que un sistema fa mentres la seua amplitut cau a 1/3 de l'amplitut inicial.

Com a eixemples, el Q d'un vehícul en els esmortidorés en bon estat és alguna cosa major que 1. El Q d'una corda de guitarra és de varis mills. El Q dels cristals de cuarzo utilisats en electrònica com a referència de freqüència és de l'orde d'1 milló. Una copa de vidre ordinari té un Q molt més menut que una copa de vidre de plom (cristal).

Oscilacions forçades

Podem iniciar el moviment un oscilador harmònic desplaçant-ho de la seua posició d'equilibri i abandonant-ho a la seua oscilació lliure (vore paràgrafs precedents).

Alternativament, podem aplicar-li una força l'intensitat de la qual varie de manera sinusoidal en el temps. En esta situació, l'equació diferencial llineal no és homogénea. La solució a este tipo d'equació consta de dos térmens: la solució general del sistema homogéneu més una solució particular del cas inhomogéneo.^[2] Per tant, la solució té dos parts: una part transitòria (que s'anula passat cert temps), similar a les que vàrem vore en els paràgrafs precedents, i una part estacionaria. La solució de la part transitòria és la mateixa la que ya hem vist (equació homogénea). Les úniques diferències són les condicions inicials i finals, que no són idèntiques. Anem a interessar-nos per la solució estacionaria. En l'equació diferencial del sistema cal afegir la força sinusoidal:

m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + b \frac{d y}{d t} + k y = F_{m} \cos (ω t)

Per a resoldre esta equació utilisarem el mateix método que en electricitat i electrònica. Per a això, s'afig a la força real una força imaginària $j F_{m} sen (ω t)$ . Com en electrònica, s'utilisa la notació $j^{2} = - 1$ en lloc de i. Ara l'equació a resoldre és:

m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + b \frac{d y}{d t} + k y = F_{m} e^{j ω t}

Pero per supost, com en electricitat, només la part real de $y$ serà d'interés. La solució és immediata:

y = A e^{j ω t}

Si es deriva esta expressió i se substituïx en l'equació diferencial, es troba el valor de A:

A = \frac{F_{m}}{k - m ω^{2} + j b ω}

Pero A pot escriure's com $A = ρ e^{j ϕ}$ i la solució de $y$ complexa és:

y = ρ e^{j ϕ} e^{j ω t} = ρ e^{j (ω t + ϕ)}

El valor de $y$ real és la part real de l'expressió precedent:

y = ρ \cos (ω t + ϕ)

a on $ρ$ és el mòdul de $A$ i $ϕ$ el seu argumente:

ρ = | A | = | \frac{F_{m}}{k - m ω^{2} + j b ω} |

ϕ = \arg (A) = \arg (\frac{F_{m}}{k - m ω^{2} + j b ω})

Com en electricitat, l'àngul $ϕ$ dona el desfasament del moviment sobre la força externa. Si $ϕ$ és positiu, el moviment té la fase alvançada i si $ϕ$ és negatiu el moviment té la fase retardada. En este cas el desfasament serà sempre negatiu.

Resposta en freqüència

L'amplitut de les oscilacions forçades dependrà, per supost, de l'amplitut de la força externa. Pero per a una mateixa amplitut de la força, l'amplitut de l'oscilació dependrà també de la freqüència. Vejam com varia l'amplitut $ρ$ en $ω$ . Utilisant la definició de freqüència pròpia del sistema (sense amortiguamiento ni força externa):

Resposta en freqüència d'un oscilador harmònic. A la freqüència de resonància, l'amplitut és Q voltes més gran que a molt baixa freqüència.

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{k}{m}}

es pot escriure:

A = \frac{F_{m}}{k} \frac{1}{1 - {(\frac{ω}{ω_{o}})}^{2} + j \frac{ω}{ω_{o}} \sqrt{\frac{b^{2}}{k m}}} .

Si ademés s'utilisa la definició de $Q = \frac{\sqrt{k m}}{b}$ , s'obté:

A = \frac{F_{m}}{k} \frac{1}{1 - {(\frac{ω}{ω_{o}})}^{2} + j \frac{ω}{ω_{o}} \frac{1}{Q}} .

En el dibuix de dreta s'ha representat l'amplitut de l'oscilació forçada en funció de la freqüència per a varis valors del factor de calitat Q. A molt baixa freqüència l'amplitut és la mateixa que si la força anara estàtica $F_{m} = k A$ , i el sistema oscilarà entre les posicions $\frac{F_{m}}{k}$ i $- \frac{F_{m}}{k}$ . Quan la freqüència aumenta, l'amplitut també, alcançant un màxim quan la freqüència d'excitació és igual a la freqüència pròpia del sistema. A eixa freqüència pròpia també se li crida freqüència de resonància. També es diu que un sistema excitat a una freqüència pròxima a la freqüència de resonància «resona» o «entra en resonància». A la freqüència de resonància, l'amplitut de les oscilacions serà Q voltes més gran que la que s'obté en baixa freqüència.

L'ample del pico de resonància a mija altura, és dir quan l'amplitut és igual a la mitat del màxim, és igual a la freqüència de resonància dividida per Q. Eixe ample també es diu banda pasante.

Oscilador forçat i caos

L'oscilador harmònic no pertorbat en una dimensió és un eixemple de sistema integrable, en comportament regular. No obstant, l'oscilador harmònic pertorbat pot presentar un comportament caòtic^[3] caracterisat per un atractor estrany. Per eixemple en el cas d'un destorbament de tipo $x^{3}$ l'equació de moviment és:

Este sistema és no integrable i el moviment tendix ràpidament cap al cridat atractor de Duffing.^[4]

Oscilador de van der Pol

Archiu:Vanderpol time mu=8.53 A=1.2 T=10.svg

Comportament caòtic en l'oscilador de van der Pol en excitació sinusoidal. μ = 8.53, mentres que l'excitació externa té amplitut A = 1.2 i freqüència angular ω = 2π / 10.

l'oscilador de van der Pol és un cas especial d'oscilador en amortiguamiento no llineal, que respon a l'equació:

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} - μ (1 - x^{2}) \frac{d x}{d t} + x = 0

Va ser descrit per primera volta en 1935 per Balthasar van der Pol^[5] i presenta comportament caòtic.

Oscilador harmònic torsional

Artícul principal → Resort de torsió.

Importància en física

Considere's el cas d'un cos somés a una força unidimensional: $F (y)$ . Desenrollant dita força en série de Taylor al voltant del punt d'equilibri ( $y = 0$ ):

F (y) = F (y = 0) + y {(\frac{d F}{d y})}_{y = 0} + \frac{1}{2} y^{2} {(\frac{d^{2} F}{d y^{2}})}_{y = 0} + ...

Com l'orige és el punt d'equilibri, el primer terme del desenroll és nul. Si les oscilacions entorn a $y = 0$ són lo suficientment menudes, un es pot quedar en l'aproximació llineal i despreciar els térmens d'orde superior:

F (y) ≃ y {(\frac{d F}{d y})}_{y = 0}

Cridant-li $k$ a la derivada de la força, s'obté de nou la força recuperadora de Hooke. Ací radica l'importància de l'oscilador harmònic: supon una primera aproximació per a l'estudi d'un sistema quan es produïxen menudes oscilacions entorn a la seua posició (o estat) d'equilibri.^[6]

Eixemples

Circuit LC

Circuit LC sense pèrdues

Circuit LC sense pèrdues.

En la figura de la dreta s'ha dibuixat un circuit oscilante LC (una bobina i un condensador) ideal, és dir sense pèrdues.

Suponga's que, en la situació inicial, el condensador està carregat a una tensió V i que en eixe moment es conecta l'inductància. La tensió present en les extremitats de l'inductància va a fer aparéixer una corrent de sentit invers a la de la flecha del dibuix, que aumentarà en el temps. A mida que el condensador suministra corrent a l'inductància, es descarrega i la tensió disminuïx. La disminució de la tensió fa que la corrent aumente menys ràpidament. La situació continua aixina, en la tensió del condensador que disminuïx cada volta més ràpidament (perque la corrent aumenta) i la corrent que aumenta més llentament (perque la tensió disminuïx). Aplega un moment en el qual el condensador està completament descarregat i la corrent ha aplegat a un màxim.

Ara la corrent continua circulant perque l'inductància li l'impon. El condensador comença a carregar-se en l'atre sentit i fa aparéixer una tensió en els borns de l'inductància que fa disminuir la corrent. La situació continua del següent modo: el condensador es va carregant cada volta més llentament (perque la corrent disminuïx), mentres que la corrent va disminuint cada volta més ràpidament (perque la tensió inversa aumenta). Aixina, s'aplega a la situació en la qual la corrent s'anula i la tensió del condensador és màxima i del mateix valor que la tensió inicial, pero en sentit opost. La situació és anàloga a la d'una massa sostinguda per un resort. L'inductància juga el paper de la massa. La massa té inèrcia i impedix que el moviment canvie bruscament. L'inductància impedix que la corrent canvie bruscament. Vejam les equacions.

El comportament elèctric del condensador està descrit per l'equació: $I = C \frac{d V}{d t}$ . El de l'inductància està descrit per $V = L \frac{d I}{d t}$ . Com en l'esquema $I$ és positiu quan ix del costat positiu de l'inductància, cal agregar un signe negatiu: $V = - L \frac{d I}{d t}$ . Es té, puix, este sistema d'equacions diferencials:

I = C \frac{d V}{d t}

V = - L \frac{d I}{d t}

Per a eliminar $I$ , basta derivar la primera equació, per a reemplaçar la derivada de $I$ en la segona:

V = - L C \frac{d^{2} V}{d t^{2}}

que es pot escriure com:

L \frac{d^{2} V}{d t^{2}} = - \frac{1}{C} V

Esta equació és la mateixa que la de la massa en un resort. $V$ és equivalent a la posició $y$ . $L$ és equivalent a la massa $m$ i $\frac{1}{C}$ és equivalent a la constant del resort $k$ .

La solució és:

V = V_{\circ} \cos (ω t + ϕ)

en

ω = \frac{1}{\sqrt{L C}}

Com de costum, $V_{\circ}$ i $ϕ$ depenen de les condicions inicials.

Circuit LC en pèrdues

Circuit LC en pèrdues. La resistència dona conte de totes les pèrdues possibles.

L'esquema de la dreta representa un circuit oscilante LC en pèrdues. Les pèrdues estan representades per les pèrdues en una resistència. En un circuit real, les pèrdues provenen de resistències en série com la dibuixada. Dites resistències poden estar en l'exterior de l'inductància o del condensador, pero també poden ser resistències internes d'eixos components. També pot haver resistències en paralel, perdudes en el dielèctric del condensador o en el núcleu de la bobina (si és ferromagnético). També pot haver pèrdues per radiació d'ones electromagnètiques. La resistència farà que la tensió sobre la bobina siga diferent de la tensió sobre el condensador. La corrent creada serà menor que si no hi haguera hagut pèrdues i quan la corrent carregue de nou el condensador, la tensió a la qual aplegarà serà menor. Per la seua banda, l'amplitut disminuirà i tendirà cap a zero. L'equació del nou sistema és:

L \frac{d^{2} V}{d t^{2}} + R \frac{d V}{d t} + \frac{1}{C} V = 0

L'equació és la mateixa que la d'una massa en un resort i en un esmortidor. Esta volta $R$ és l'equivalent del coeficient de rozamiento $b$ . La solució és:

V = V_{\circ} e^{- \frac{R}{2 L} t} \cos (ω t + ϕ)

en

ω = \sqrt{\frac{1}{L C} - {(\frac{R}{2 L})}^{2}}

i

Q = \sqrt{\frac{L}{R C}} = \frac{ω_{\circ} L}{R} = \frac{R}{ω_{\circ} C}

a on $ω_{\circ} = \frac{1}{\sqrt{L C}}$ és la freqüència pròpia del circuit (sense pèrdues).

Oscilacions forçades d'un circuit LC en pèrdues

Circuit LRC atacat per un generador sinusoidal.

L'esquema de la dreta mostra un generador conectat a un circuit LC en série. Si la tensió del generador és $V_{f} \cos (ω t)$ , l'equació és:

L C \frac{d^{2} V}{d t^{2}} + R C \frac{d V}{d t} + V = V_{f} \cos (ω t)

L'expressió es pot reescriure, donant-li un aspecte similar a les formes precedents:

L \frac{d^{2} V}{d t^{2}} + R \frac{d V}{d t} + \frac{1}{C} V = \frac{V_{f}}{C} \cos (ω t)

Com en l'eixemple mecànic, en règim estacionario la solució és:

V = V_{\circ} \cos (ω t + ϕ)

a on

V_{\circ} = V_{f} | \frac{1}{1 - {(\frac{ω}{ω_{\circ}})}^{2} + j \frac{1}{Q} \frac{ω}{ω_{\circ}}} |

i

ϕ = A r g (\frac{1}{1 - {(\frac{ω}{ω_{\circ}})}^{2} + j \frac{1}{Q} \frac{ω}{ω_{\circ}}})

$ω_{\circ}$ i $Q$ són els mateixos que en el paràgraf precedent. L'amplitut de la tensió d'eixida és màxima a la resonància (quan $ω = ω_{\circ}$ ) i val $Q$ voltes la tensió d'entrada.

Oscilador harmònic quàntic

Artícul principal → Oscilador harmònic quàntic.

Archiu:Schr-harmonic.png

Funciones d'ona per als primers sis autoestados, n = 0 a 5. L'eix horisontal mostra la posició i en unitats (h/2πmω)^1/2. Les gràfiques estan sense normalisar.

Archiu:QHarmonicOscillator.png

Densitat de provabilitat dels primers autoestados (dimensió vertical, en els de menor energia en la part inferior) per a les diferents localisacions espacials (dimensió horisontal).

Susodichamente, l'oscilador harmònic es pot amprar per a estudiar sistemes que realisen menudes oscilacions entorn a una posició d'equilibri. En particular, el oscilador harmònic quàntic es pot amprar per a estudiar les oscilacions dels àtoms d'una molècula diatómica, com la d'hidrogen, H₂, o la de clorur d'hidrogen, HCl.^[7]

L'oscilador harmònic és un dels casos en els que es pot obtindre una solució analítica senzilla de l'equació de Schrödinger. En esta situació, el hamiltoniano de la partícula considerada estarà descrit per:

\hat{H} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} y^{2}

Note's que per al cas de molècules diatómicas, la massa $m$ seria, en realitat, la massa reduïda del sistema. Es veu clarament que el primer sumant és un terme cinètic, mentres que el segon és l'harmònic. Com el hamiltoniano no depén del temps, només resta resoldre l'equació de Schrödinger independent del temps, a fi de trobar els autoestados de l'energia $E$ :

\hat{H} | ψ (y) ⟩ = E | ψ (y) ⟩

Es pot demostrar que les funciones d'ona, $ψ (y)$ , el mòdul de la qual al quadrat descriu la densitat de provabilitat de que la partícula tinga una determinada posició $y$ , són el producte d'exponencials pels polinomis de Hermite. La figura de la dreta mostra la forma de dites funcions per als sis autoestados en energia més baixa (l'estat de menor energia és el que figura en la part superior de la mateixa). En particular, l'energia del nivell n-ésimo serà:

E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) n = 0, 1, 2, ...

a on $ℏ$ és la constant de Planck.

És important senyalar un parell de fets:

Els nivells d'energia es troben cuantizados, és dir, només poden prendre una série de valors discrets.
El nivell mínim d'energia no és zero, sino $(1 / 2) ℏ ω$ . Note's que la funció d'ona de dit estat mostra que la partícula no es troba en tot moment en la posició d'equilibri $y = 0$ .

En la segona figura, es mostren les densitat de provabilitat espacial de la partícula per als diferents autoestados. Note's que a mida que creix l'energia del autoestado considerat (és dir, l'orde $n$ ), les distribucions de provabilitat tendixen a concentrar-se en els punts de tornada, o màxima amplitut. Esta situació és la que es dona en el cas clàssic, si es definix per a ell una densitat de provabilitat inversamente proporcional a la velocitat de la partícula en cada punt.^[8] Per tant, es complix el principi de correspondència (és dir, es poden predir els resultats que s'obtindrien en el llímit clàssic).

Vore també

Referències

↑ Simmons, capítul 3.
↑ Simmons, pp. 84-87.
↑ «T.N. Palmer (1995): "A local deterministic model of Quàntum Spin Measurement", Proceedings: Mathematical and Physical Sciences, Volume 451, Issue 1943, pp. 585-608». Archivat des d'el original, el 4 de març de 2016. Consultat el 31 de giner de 2008.
↑ Atractor de Duffing.
↑ Cartwright, M.L. (1960). «Balthazar van der Pol», J. London Math. Soc., 35, pp. 367-376.
↑ Marion, pp. 103 i 104.
↑ Tipler, p. 1190.
↑ Guillén, pp. 114 i 115.

Bibliografia

Enllaces externs

Artícul en la Wikipedia en francés sobre la péndola composta.
Hyperphysics (lloc en anglés).
Oscilador harmònic quàntic en Hyperphysics.
Pàgina (en anglés) en animacions sobre l'oscilador harmònic, la péndola simple i atres fenomens.
Pàgina [1] archivat en Wayback Machine. (en anglés) en animacions d'oscilacions i ones.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Oscilador armónico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Simmons, capítul 3.

[2] Simmons, pp. 84-87.

[3] «T.N. Palmer (1995): "A local deterministic model of Quàntum Spin Measurement", Proceedings: Mathematical and Physical Sciences, Volume 451, Issue 1943, pp. 585-608». Archivat des d'el original, el 4 de març de 2016. Consultat el 31 de giner de 2008.

[4] Atractor de Duffing.

[Biography-5] Cartwright, M.L. (1960). «Balthazar van der Pol», J. London Math. Soc., 35, pp. 367-376.

[6] Marion, pp. 103 i 104.

[7] Tipler, p. 1190.

[8] Guillén, pp. 114 i 115.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]