Sinusoide

Archiu:ComplexSinInATimeAxe.gif

Sinusoide

Archiu:Sin.svg

Funció sen para A = ω = 1 i φ = 0.

En matemàtica es denomina sinusoide o senoide a la curva que representa gràficament la funció sen. És una curva que descriu una oscilació repetitiva i suau.

La seua forma més bàsica en funció del temps (t) és:

$y(t)=A\mathrm{sen}(\omega t+\phi )$

La senoide és important en física pel fet descrit pel teorema de Fourier que diu que tota ona, qualsevol que siga la seua forma, pot expressar-se de manera única com a superposició (suma) d'ones sinusoidals de llongituts d'ona i amplitut definides. Per este motiu s'usa esta funció per a representar tant a les ones sonores com les de la corrent alterna.

Eixemple d'àudio

Archiu:220 Hz sine wave.ogg

5 segons d'una ona sinusoidal de 220 hercios. Esta és una ona sonora descrita per una funció sen en freqüència igual a 220 oscilacions per segon.

Una ona sinusoidal representa una freqüència única sense harmònics, i acústicament es considera un to pur. La suma d'ones sinusoidals de diferents freqüències dona com resultat una forma d'ona diferent. La presència d'harmònics més alts, ademés de la freqüència fonamental, provoca variacions en el timbre, raó per la qual una mateixa nota musical tocada en diferents instruments sona diferent.

Característiques

Archiu:Alg sinusoide.png

Figura 1: Paràmetros característics d'una forma sinusoidal.

La sinusoide ve donada per les següents expressions matemàtiques:

$y(t)=A\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\omega t+\phi )$

$y(t)=A\mathrm{sen}(2\pi ft+\phi )$

$y(t)=A\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\frac{2\pi }{T}t+\phi )$

a on

• $t$ és la variable independent real, usualment representant el temps en segons.
• $A$ és l'amplitut d'oscilació.
• $f$ és la freqüència d'oscilació.
• $T$ és el periodo d'oscilació; $T=1/f$.
• $\omega$ és la velocitat angular; $\omega =2\pi f$.
• $\phi$ és la fase inicial.
• $\omega t$ + $\phi$ és la fase d'oscilació.

Periodo (T) en una sinusoide

És el menor conjunt de valors de $x$ que corresponen a un cicle complet de valors de la funció; en este sentit tota funció d'una variable que repetix els seus valors en un cicle complet és una funció periòdica, senoidal o sinusoidal.

En les gràfiques de les funciones sen-coseno el periodo és $2\pi$.

Amplitut (A) en una sinusoide

És el màxim alluntament en el valor absolut de la curva medida des de l'eix x.

Des d'un punt de vista més tècnic, l'amplitut de la sinusoide és la norma del suprem de la sinusoide: $A=\Vert y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in ℝ}{\sup }|y(x)|$

Fase inicial (φ) en una sinusoide

La fase dona una idea del desplaçament horisontal de la senoide. Si dos sinusoide tenen la mateixa freqüència i igual fase, es diu que estan en fase.

Si dos senoides tenen la mateixa freqüència i distinta fase, es diu que estan en desfasament, i una de les sinusoide està alvançada o atrassada con respecto de l'atra.

Carix de sentit comparar la fase de dos sinusoide en distinta freqüència, ya que estes entren en fase i en desfasament periòdicament.